Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 20 cm cada um, e o ângulo do vértice 120^circ. Determine a área e o volume do sólido gerado por esse triângulo quando gira em torno de sua base.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo isósceles com lados congruentes medindo 20 cm e ângulo do vértice ,120^circ. Precisamos encontrar a área desse triângulo e o volume do sólido gerado ao girar o triângulo em torno de sua base. Para isso usaremos a lei dos cossenos, a fórmula de área de triângulo e o método dos discos para volume de revolução.

Passo 2

Primeiro calculamos a base b do triângulo pela lei dos cossenos e em seguida a altura h relativa a essa base.
b = raiz20^2 + 20^2 - 2cdot20cdot20cos(120^circ) = raiz400 + 400 - 800l(-tfrac12r) = raiz1200 = 20raiz3
Como o triângulo é isósceles, a altura divide a base ao meio, então cada metade vale 10raiz3 e
h = raiz20^2 - l(10raiz3r)^2 = raiz400 - 300 = 10

Passo 3

A área do triângulo é
Área = bcdot h2 = 20raiz3,cdot 102 = 100raiz3(cm^2) Á

Passo 4

Para o volume, colocamos a base no eixo x de x=0 a x=b=20raiz3 e a altura do triângulo como função ymax(x).
Para 0<= x<= 10raiz3, o lado vai de (0,0) a l(10raiz3,10r), logo
ymax(x)=1010raiz3,x=xraiz3
Para 10raiz3<= x<= 20raiz3, o lado vai de l(20raiz3,0r) a l(10raiz3,10r), logo
ymax(x)=1010raiz3-20raiz3,(x-20raiz3) =20-xraiz3

Passo 5

Pelo método dos discos, o volume é
V=piintegral0^20raiz3l[ymax(x)r]^2,dx =pigl(integral0^10raiz3!x^23,dx +integral10raiz3^20raiz3!l(20-tfracxraiz3r)^2dxgr)
Calculando cada integral obtém-se
integral0^10raiz3x^23,dx =(10raiz3)^39 =1000cdot3raiz39 =1000raiz33,
integral10raiz3^20raiz3l(20-tfracxraiz3r)^2dx =1000raiz33
Somando e multiplicando por pi,
V=pil(tfrac1000raiz33+tfrac1000raiz33r) =2000raiz33,pi (cm^3)

Resposta

Área do triângulo: 100raiz3 c m^2
Volume do sólido de revolução: 2000raiz33,pi c m^3

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