Um triângulo retângulo isósceles, girando em torno de um dos catetos, gera um sólido cujo volume é pi3 m^3. Calcule a hipotenusa.

Passo 1

O enunciado diz que um triângulo retângulo isósceles, de catetos iguais, gira em torno de um dos catetos gerando um sólido de volume tfracpi3,m^3. O conteúdo é volume de revolução (sólidos de revolução) e vamos usar a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Seja a o comprimento de cada cateto. Ao girar o triângulo em torno de um cateto, esse cateto vira o eixo do sólido e o outro cateto descreve um raio de círculo, de modo que o sólido obtido é um cone de raio r=a e altura h=a.

Passo 3

O volume de um cone é dado por
V = 13,pi,r^2,h
Substituindo r=a e h=a,
V = 13,pi,a^2cdot a = 13,pi,a^3
Como V = tfracpi3, temos
13,pi,a^3 = pi3 Longrightarrow a^3 = 1 Longrightarrow a = 1

Passo 4

No triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa c satisfaz
c = araiz2 = 1cdotraiz2 = raiz2

Resposta

A hipotenusa mede raiz2,m.

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