Determine a área e o volume do sólido gerado por um triângulo isósceles que gira em torno da base que mede 10 cm , sendo
a medida do ângulo do vértice do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles de base
cm e ângulo do vértice oposto à base igual a
. Esse triângulo gira em torno da reta que contém a base, gerando um sólido de revolução. Para resolver vamos precisar de:
- Lei dos cossenos para achar o comprimento dos lados iguais;
- trigonometria para obter a altura do triângulo;
- interpretação do sólido gerado como a união de dois cones circulares retos;
- fórmulas de volume e área lateral de um cone.
Passo 2
Vamos chamar o lado igual de
. Pela Lei dos Cossenos no ângulo de
:
Agora a altura
do vértice até a base (perpendicular) vale
Passo 3
Ao girar o triângulo em torno da base, cada um dos lados iguais gera um cone circular reto de raio igual à altura
cm e altura igual à projeção do vértice sobre a base, que também é
cm. Esses dois cones têm suas bases coincidentes (no círculo gerado pelo vértice) e formam um bicone.
Passo 4
O volume de um cone reto é
. Como são dois cones idênticos com
cm e
cm, o volume total é
Passo 5
A área lateral de um cone reto é
, onde
é a aresta lateral. Aqui
Logo, a área lateral de cada cone é
e dos dois cones juntos
Resposta
Área da superfície do sólido:
cm
Volume do sólido: cm
Volume do sólido: