Determine a área e o volume do sólido gerado por um triângulo isósceles que gira em torno da base que mede 10 cm , sendo 120^circ a medida do ângulo do vértice do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles de base b=10 cm e ângulo do vértice oposto à base igual a 120^circ. Esse triângulo gira em torno da reta que contém a base, gerando um sólido de revolução. Para resolver vamos precisar de:
  • Lei dos cossenos para achar o comprimento dos lados iguais;
  • trigonometria para obter a altura do triângulo;
  • interpretação do sólido gerado como a união de dois cones circulares retos;
  • fórmulas de volume e área lateral de um cone.

Passo 2

Vamos chamar o lado igual de s. Pela Lei dos Cossenos no ângulo de 120^circ:
b^2 = s^2 + s^2 - 2,s^2cos120^circ
10^2 = 2s^2l(1 - (-tfrac12)r) Longrightarrow 100 = 2s^2cdottfrac32 Longrightarrow s^2 = 1003 Longrightarrow s = 10raiz3,
Agora a altura h do vértice até a base (perpendicular) vale
h = scos30^circ = 10raiz3cdot raiz32 =5cm

Passo 3

Ao girar o triângulo em torno da base, cada um dos lados iguais gera um cone circular reto de raio igual à altura h=5 cm e altura igual à projeção do vértice sobre a base, que também é 5 cm. Esses dois cones têm suas bases coincidentes (no círculo gerado pelo vértice) e formam um bicone.

Passo 4

O volume de um cone reto é tfrac13pi R^2 H. Como são dois cones idênticos com R=5 cm e H=5 cm, o volume total é
V = 2cdot 13,pi,5^2cdot5 = 2cdot 125pi3 = 250pi3 cm^3

Passo 5

A área lateral de um cone reto é pi R,ell, onde ell=raizR^2+H^2 é a aresta lateral. Aqui
ell = raiz5^2+5^2 = 5raiz2
Logo, a área lateral de cada cone é
picdot5cdot5raiz2 =25piraiz2,
e dos dois cones juntos
A = 2cdot25piraiz2 =50piraiz2 cm^2

Resposta

Área da superfície do sólido: 50piraiz2 cm ^2
Volume do sólido: 250pi3 cm ^3

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