(Udesc-15) Os números reais a, b e c são tais que a progressão geométrica S_{\mathbf{1}}= \{5 \mathrm{a}-\mathrm{b}, \mathrm{b}, 48, \ldots\} e a progressão aritmética S_{2}=\{c, a-b,-6 a-c, \ldots\} possuem razōes opostas. Então, o valor de a+b+c é igual a:
A) 3
B) 20
C) 13
D) 15
E) 10

Passo 1

No enunciado, temos a progressão geométrica S_1=\{5a-b,\;b,\;48,\dots\} e a progressão aritmética S_2=\{c,\;a-b,\;-6a-c,\dots\}. Precisamos usar (i) para a PA: diferenças iguais entre termos; (ii) para a PG: razão constante; e (iii) a condição de que a razão da PG e a “razão” (diferença) da PA são opostas, ou seja, r=-d. O objetivo é achar a+b+c.

Passo 2

Na PA S_2 a diferença é constante, logo
(a-b)-c = (-6a-c)-(a-b).
Expandindo,
a - b - c = -6a - c - a + b \quad\Longrightarrow\quad a - b = -7a + b,
8a = 2b \quad\Longrightarrow\quad b=4a.

Passo 3

Na PG S_1 a razão r satisfaz
\frac{b}{5a - b} = \frac{48}{b}.
Substituindo b=4a,
\frac{4a}{5a-4a} = \frac{48}{4a} \;\Longrightarrow\; 4 = \frac{12}{a} \;\Longrightarrow\; a=3,
e então b=4a=12.

Passo 4

A razão da PG é
r = \frac{b}{5a - b} = \frac{12}{5\cdot3 - 12} = 4,
e a diferença da PA é
d = (a-b) - c = (3 - 12) - c = -9 - c.
Como r e d são opostos, r = -d, isto é,
4 = -(-9 - c) = 9 + c \;\Longrightarrow\; c = -5.

Passo 5

Por fim,
a + b + c = 3 + 12 + (-5) = 10.

Resposta

10

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