(UECE-2006) Se x e y são as médias aritmética e geométrica, respectivamente, dos números \frac{1}{2}, \frac{1}{4} e \frac{1}{8}, então a razão \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} é igual a
a) 6 / 7
b) 7 / 6
c) 7 / 8
d) 8 / 7

Passo 1

O enunciado pede para calcular a razão \tfrac{y}{x}, onde x é a média aritmética e y é a média geométrica dos números \tfrac12, \tfrac14 e \tfrac18. Vamos usar as definições:
– média aritmética de três números: \displaystyle x=\frac{a+b+c}{3};
– média geométrica de três números: \displaystyle y=(abc)^{1/3}.

Passo 2

Calcular x. A soma dos três números é
\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8},
logo
x = \frac{\tfrac{7}{8}}{3} = \frac{7}{24}.

Passo 3

Calcular y. O produto dos três números é
\frac12 \cdot \frac14 \cdot \frac18 = \frac{1}{64},
portanto
y = \bigl(\tfrac1{64}\bigr)^{1/3} = \frac1{4}.

Passo 4

Determinar a razão \tfrac{y}{x}:
\frac{y}{x} = \frac{\tfrac14}{\tfrac{7}{24}} = \frac{1}{4}\cdot\frac{24}{7} = \frac{6}{7}.

Resposta

a) \tfrac{6}{7}

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