(UECE-2008) No conjunto dos números reais positivos, definem-se as operações p^{*} q=\sqrt{p . q} e \mathrm{p} \# \mathrm{q}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{q}}{2}. Se m e n são tais que (2 \mathrm{~m})^{*} \mathrm{n}= m#(2n), então, necessariamente, teremos
a) m=n.
b) 2 m=n.
c) \mathrm{m}=2 \mathrm{n}.

Passo 1

O enunciado trabalha no conjunto dos números reais positivos e define duas operações entre quaisquer p,q>0:
p^{*}q=\sqrt{p\,q},
p\#q=\frac{p+q}{2}.
Pede para encontrar quais m,n>0 satisfazem
(2m)^{*}n \;=\; m\#(2n).
Para resolver, vamos substituir as definições e resolver a equação resultante.

Passo 2

Aplicando as definições, o membro esquerdo fica
(2m)^{*}n=\sqrt{2m\cdot n}=\sqrt{2mn},
e o membro direito é
m\#(2n)=\frac{m+2n}{2}.
Logo a equação é
\sqrt{2mn}=\frac{m+2n}{2}.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
2mn=\frac{(m+2n)^{2}}{4}.
Multiplicando por 4 e desenvolvendo o quadrado:
8mn=m^{2}+4mn+4n^{2} \;\Longrightarrow\; 0=m^{2}-4mn+4n^{2}=(m-2n)^{2}.
Da última igualdade segue m-2n=0, ou seja,
m=2n.

Resposta

m=2n.

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