(UECE-03) O número de termos, menores que 500, comuns às progressões aritméticas
  • 2, 6, 10, 14, …
  • 3, 10, 17, 24, … ć:
    a) 17
    b) 18
    c) 19
    d) 20

Passo 1

O enunciado apresenta duas progressões aritméticas 2,6,10,14,\dots e 3,10,17,24,\dots e pede a quantidade de termos comuns a ambas que sejam menores que 500. Esse problema envolve progressões aritméticas e uso do Teorema Chinês dos Restos para determinar a interseção.

Passo 2

Expressamos o termo geral de cada PA:
- Primeira PA:
a_n = 2 + 4(n-1).
- Segunda PA:
b_m = 3 + 7(m-1).
Um número x comum deve satisfazer simultaneamente
x \equiv 2 \pmod{4}, \qquad x \equiv 3 \pmod{7}.

Passo 3

Aplicando o CRT, escrevemos x=4t+2. Substituindo na segunda congruência:
4t+2\equiv3\pmod{7} \;\Longrightarrow\; 4t\equiv1\pmod{7}.
Como 4^{-1}\equiv2\pmod{7}, segue t\equiv2\pmod{7}, ou seja t=7k+2. Logo
x = 4(7k+2)+2 = 28k + 10.

Passo 4

Portanto os termos comuns formam a PA
10,\,38,\,66,\,\dots
com razão 28. Queremos x_k = 10 + 28(k-1) < 500, isto é
28(k-1) < 490 \;\Longrightarrow\; k-1 < 17{,}5 \;\Longrightarrow\; k \le 18.
Logo há 18 termos comuns menores que 500.

Resposta

18

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