(UECE-13) Se a soma dos 99 primeiros termos da sequência k, \frac{k^{2}+1}{k}, \frac{k^{2}+2}{k}, \frac{k^{2}+3}{k}, \ldots é igual a 1386, entāo o valor de k é
A) 7 .
B) 8 .
C) 9 .
D) 10 .

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos 99 primeiros termos da sequência
T_1 = k,\quad T_2 = \frac{k^2+1}{k},\;T_3 = \frac{k^2+2}{k},\;\ldots,\;T_{99} = \frac{k^2+98}{k}
é igual a 1386. O conteúdo envolvido é soma de termos de sequência e resolução de equação em k.

Passo 2

Separemos o primeiro termo da soma e depois somamos os 98 termos seguintes. Assim,
S = \sum_{n=1}^{99}T_n = T_1 + \sum_{j=1}^{98}T_{j+1} = k + \sum_{j=1}^{98}\frac{k^2 + j}{k}.

Passo 3

Dentro da soma temos duas parcelas: uma constante \,k^2 repetida 98 vezes e a soma dos inteiros de 1 a 98. Então
\sum_{j=1}^{98}(k^2+j) = 98\,k^2 + \sum_{j=1}^{98}j = 98\,k^2 + \frac{98\cdot99}{2} = 98\,k^2 + 4851.
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S = k + \frac{1}{k}\bigl(98\,k^2 + 4851\bigr) = k + 98\,k + \frac{4851}{k} = 99\,k + \frac{4851}{k}.

Passo 4

Como S=1386, temos
99\,k + \frac{4851}{k} = 1386.
Multiplicando por k:
99\,k^2 + 4851 = 1386\,k \quad\Longrightarrow\quad 99\,k^2 - 1386\,k + 4851 = 0.
Dividindo por 99:
k^2 - 14\,k + 49 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (k-7)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 7.

Resposta

A) 7.

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