(FGV-18) Seja
a soma dos cubos dos
primeiros números inteiros positivos, com
e
.
a) Calcule
e
.
b) É correta a proposiçāo:
c) Demonstre que a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros positivos,
, é igual a
.
a) Calcule
b) É correta a proposiçāo:
c) Demonstre que a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros positivos,
Passo 1
O enunciado define
, pede em (a) calcular
, em (b) verificar se
e em (c) demonstrar por que
para
. O tema é soma de potências e usaremos prova por indução.
Passo 2
Calculamos diretamente:
Passo 3
Para
,
enquanto
Logo a igualdade em (b) é correta.
Passo 4
Iniciamos a prova por indução. Base de indução em
(ou
):
portanto vale para
. Também para
vimos que
e
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então
Dentro do colchete
logo
que é exatamente a fórmula para
.
Passo 6
Pelo princípio da indução matemática a fórmula
vale para todo
, e em particular para
, concluindo a demonstração.
Resposta
(a)
,
,
.
(b) Sim, e
.
(c) .
(b) Sim,
(c)