(FGV-18) Seja S_{n} a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros positivos, com n \geq 2 e S_{1}=1^{3}.
a) Calcule S_{2}, S_{3} e S_{4}.
b) É correta a proposiçāo:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=(1+2+3+4+5)^{2} ?
c) Demonstre que a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros positivos, \mathrm{n} \geq 2, é igual a \left[\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\right]^{2}.

Passo 1

O enunciado define S_{n} = 1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3}, pede em (a) calcular S_{2},S_{3},S_{4}, em (b) verificar se
1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3} = (1+2+3+4+5)^{2}
e em (c) demonstrar por que
S_{n} = \biggl[\frac{n(n+1)}{2}\biggr]^{2}
para n\ge2. O tema é soma de potências e usaremos prova por indução.

Passo 2

Calculamos diretamente:
S_{2} = 1^{3} + 2^{3} = 1 + 8 = 9,
S_{3} = S_{2} + 3^{3} = 9 + 27 = 36,
S_{4} = S_{3} + 4^{3} = 36 + 64 = 100.

Passo 3

Para n=5,
S_{5} = S_{4} + 5^{3} = 100 + 125 = 225,
enquanto
1+2+3+4+5 = 15 \quad\Longrightarrow\quad 15^{2} = 225.
Logo a igualdade em (b) é correta.

Passo 4

Iniciamos a prova por indução. Base de indução em n=1 (ou n=2):
S_{1} = 1^{3} = 1 \quad\text{e}\quad \biggl[\frac{1\cdot2}{2}\biggr]^{2} = 1^{2} = 1,
portanto vale para n=1. Também para n=2 vimos que S_{2}=9 e
\biggl[\frac{2\cdot3}{2}\biggr]^{2} = 3^{2} = 9.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
S_{k} = \biggl[\frac{k(k+1)}{2}\biggr]^{2}.
Então
S_{k+1} = S_{k} + (k+1)^{3} = \biggl[\frac{k(k+1)}{2}\biggr]^{2} + (k+1)^{3} = (k+1)^{2}\biggl[\frac{k^{2}}{4} + (k+1)\biggr].
Dentro do colchete
\frac{k^{2}}{4} + (k+1) = \frac{k^{2} + 4k + 4}{4} = \frac{(k+2)^{2}}{4},
logo
S_{k+1} = (k+1)^{2}\,\frac{(k+2)^{2}}{4} = \biggl[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\biggr]^{2},
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 6

Pelo princípio da indução matemática a fórmula
S_{n} = \biggl[\frac{n(n+1)}{2}\biggr]^{2}
vale para todo n\ge1, e em particular para n\ge2, concluindo a demonstração.

Resposta

(a) S_{2}=9, S_{3}=36, S_{4}=100.
(b) Sim, 1^{3}+\dots+5^{3}=225 e (1+2+3+4+5)^{2}=225.
(c) S_{n}=\bigl[\tfrac{n(n+1)}{2}\bigr]^{2}.

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