(UEPG-09) No desenvolvimento do binômio (ax + by) { }^{5}, os coeficientes dos monômios x^{2} y^{3} e x y^{4} são, respectivamente, iguais a 720 e 240 . A respeito do desenvolvimento desse binômio segundo potências decrescentes de x, sendo a e b números reais, assinale o que for correto.
  1. a+b=5
  2. a é um número impar.
  3. O último termo do desenvolvimento é 32 y^{5}
  4. O segundo termo do desenvolvimento é 810 x^{4} y
  5. O primeiro termo do desenvolvimento é 243 x^{5}

Passo 1

O enunciado trata do desenvolvimento de (a x + b y)^{5}. Sabemos que, em geral, o termo que contém x^{5-k}y^{k} tem coeficiente
\binom{5}{k}\,a^{\,5-k}\,b^{\,k}.
O problema informa que o coeficiente de x^{2}y^{3} vale 720 e o de x y^{4} vale 240. A partir disso, vamos encontrar a e b e então verificar cada afirmativa.

Passo 2

Para x^{2}y^{3} temos k=3, logo
\binom{5}{3}a^{2}b^{3}=720.
Como \binom{5}{3}=10, resulta
10\,a^{2}b^{3}=720 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}b^{3}=72.
Para x y^{4} temos k=4, e
\binom{5}{4}a\,b^{4}=240.
Como \binom{5}{4}=5, vem
5\,a\,b^{4}=240 \quad\Longrightarrow\quad a\,b^{4}=48.

Passo 3

Dividindo a\,b^{4}=48 por a^{2}b^{3}=72 obtemos
\frac{a\,b^{4}}{a^{2}b^{3}}=\frac{48}{72} \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{a}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{2a}{3}.
Substituindo em a\,b^{4}=48:
a\Bigl(\frac{2a}{3}\Bigr)^{4}=48 \quad\Longrightarrow\quad a\;\frac{16a^{4}}{81}=48 \quad\Longrightarrow\quad a^{5}=243 \quad\Longrightarrow\quad a=3.
Logo b=2.

Passo 4

Agora calculamos os termos do desenvolvimento de (3x+2y)^{5} em potências decrescentes de x:
1. Primeiro termo ( x^5, k=0):
\binom{5}{0}3^{5}x^{5}=243\,x^{5}.
2. Segundo termo ( x^4y, k=1):
\binom{5}{1}3^{4}\,2\,x^{4}y=5\cdot81\cdot2\,x^{4}y=810\,x^{4}y.
6. Último termo ( y^5, k=5):
\binom{5}{5}2^{5}y^{5}=32\,y^{5}.

Passo 5

Verificando as afirmativas:
01. a+b=3+2=5 \to verdade.
02. a=3 é ímpar \to verdade.
04. Último termo é 32y^{5} \to verdade.
08. Segundo termo é 810x^{4}y \to verdade.
16. Primeiro termo é 243x^{5} \to verdade.

Resposta

01, 02, 04, 08 e 16.

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