(UFG-05) Um campeonato de futebol é organizado com 24 clubes, previamente definidos, divididos em seis grupos ou chaves (A, B, C, D, E, F). Cada grupo tem um cabeça-de-chave, que é um dos seis primeiros colocados no campeonato anterior, enquanto os demais integrantes são escolhidos por sorteio, de modo que, primeiro. monta-se o grupo A (que tem como cabeça-de-chave o primeiro colocado no campeonato anterior), depois o grupo B (que tem o segundo colocado como cabeça-de-chave) e assim por diante.
a) Uma vez montados os grupos A e B, de quantas maneiras diferentes o grupo C poderá ser montado?
b) Antes de iniciar o sorteio, qual a probabilidade de um clube X, que não é cabeça-de-chave, ficar no grupo B?
Soluçāo:

Passo 1

O enunciado diz que há 24 clubes, dos quais 6 são cabeças-de-chave (pré-designados para os grupos A, B, C, D, E, F) e 18 são não-cabeças. Cada grupo fica com seu cabeça-de-chave fixo e, em seguida, sorteia-se 3 dos não-cabeças para completar o grupo. A parte (a) pede, depois de formados os grupos A e B, de quantas maneiras pode ser formado o grupo C. A parte (b) quer a probabilidade de um clube não-cabeça X ser sorteado para o grupo B.

Passo 2

Depois de montar A e B, já foram usados os cabeças-de-chave de A e B e também 3+3=6 não-cabeças nesse sorteio. Assim, restam
18 - 6 = 12
clubes não-cabeças disponíveis para o grupo C.

Passo 3

O grupo C já tem seu cabeça-de-chave fixo, então precisamos apenas escolher 3 dos 12 não-cabeças restantes. O número de maneiras é dado por
\binom{12}{3} = 220.

Passo 4

Para a probabilidade de um dado clube não-cabeça X ficar em B, note que o sorteio ocorre em dois estágios: primeiro preenchemos A com 3 não-cabeças e depois preenchemos B com 3 dos que sobraram. Podemos calcular
P(X\in B) = P(X\notin A)\times P(X\in B \mid X\notin A).
Temos
P(X\notin A)=1 - \frac{3}{18}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6},
e, dado que X não foi para A, sobram 15 não-cabeças para B, escolhendo-se 3, logo
P(X\in B \mid X\notin A)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Multiplicando,
P(X\in B) =\frac{5}{6}\times\frac{1}{5} =\frac{1}{6}.

Resposta

a) 220
b) \tfrac{1}{6}

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