(UFG-05) Um campeonato de futebol é organizado com 24 clubes, previamente definidos, divididos em seis grupos ou chaves (A, B, C, D, E, F). Cada grupo tem um cabeça-de-chave, que é um dos seis primeiros colocados no campeonato anterior, enquanto os demais integrantes são escolhidos por sorteio, de modo que, primeiro. monta-se o grupo A (que tem como cabeça-de-chave o primeiro colocado no campeonato anterior), depois o grupo
(que tem o segundo colocado como cabeça-de-chave) e assim por diante.
a) Uma vez montados os grupos
e
, de quantas maneiras diferentes o grupo
poderá ser montado?
b) Antes de iniciar o sorteio, qual a probabilidade de um clube
, que não é cabeça-de-chave, ficar no grupo B?
Soluçāo:
a) Uma vez montados os grupos
b) Antes de iniciar o sorteio, qual a probabilidade de um clube
Soluçāo:
Passo 1
O enunciado diz que há
clubes, dos quais
são cabeças-de-chave (pré-designados para os grupos A, B, C, D, E, F) e
são não-cabeças. Cada grupo fica com seu cabeça-de-chave fixo e, em seguida, sorteia-se
dos não-cabeças para completar o grupo. A parte (a) pede, depois de formados os grupos A e B, de quantas maneiras pode ser formado o grupo C. A parte (b) quer a probabilidade de um clube não-cabeça
ser sorteado para o grupo B.
Passo 2
Depois de montar A e B, já foram usados os cabeças-de-chave de A e B e também
não-cabeças nesse sorteio. Assim, restam
clubes não-cabeças disponíveis para o grupo C.
Passo 3
O grupo C já tem seu cabeça-de-chave fixo, então precisamos apenas escolher
dos
não-cabeças restantes. O número de maneiras é dado por
Passo 4
Para a probabilidade de um dado clube não-cabeça
ficar em B, note que o sorteio ocorre em dois estágios: primeiro preenchemos A com
não-cabeças e depois preenchemos B com
dos que sobraram. Podemos calcular
Temos
e, dado que
não foi para A, sobram
não-cabeças para B, escolhendo-se
, logo
Passo 5
Multiplicando,
Resposta
a)
b)
b)