(UFRJ-05) N homens e N mulheres, \mathrm{N} \geq 1. serăo dispostos ao acaso numa fila.
Seja pn a probabilidade de que a primeira mulher na fila ocupe a segunda posição.
Calcule pne determine a partir de que valor de N tem-se \mathrm{p}_{\mathrm{N}} \leq 11 / 40.
Soluçĩo:
Considere o seguinte evento: A= distribuições em que a l^{\text {d }} pessoa na fila é um homem e a 2^{3} pessoa é uma mulher. Vamos organizar um esquema para calcular \mathrm{n}(\mathrm{A}) :
\underbrace{}_{\text {hon em }} \underbrace{\underbrace{-}_{\text {permulação das demais 2N-2 pessoas }}}_{\text {mulher }}çã
Para a escolha do homem que vai ocupar o 1^{\prime \prime} lugar na fila existem N possibilidades, para a escolha da mulher que vai ocupar o 2^{\prime \prime} lugar na fila existem N possibilidades e para a permutação das demais 2 \mathrm{~N}-2 pessoas existem ( 2 \mathrm{~N}-2 )! possibilidades.
Assim: n(A)=N^{2} .(2 N-2)!.
\Lambda \operatorname{ssim}: p_{N}=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{N^{2}(2 N-2)!}{(2 N)!}=\frac{N}{2(2 N-1)}
p_{\mathrm{N}} \leq \frac{11}{40} \Rightarrow \frac{\mathrm{~N}}{2(2 \mathrm{~N}-1)} \leq \frac{11}{40} \Rightarrow \frac{\mathrm{~N}}{2 \mathrm{~N}-1}-\frac{11}{20} \leq 0 \Rightarrow \frac{-2 \mathrm{~N}+11}{20(2 \mathrm{~N}-1)} \leq 0
Resolvendo a inequação acima obtemos \mathrm{N} \leq 1 / 2 ou \mathrm{N} \geq 11 / 2. Como N é inteiro \geq 1 então a solução da inequação se resume a \mathrm{N} \geq 6.

Passo 1

O enunciado diz que temos N homens e N mulheres ( N\ge1) dispostos aleatoriamente em uma fila de 2N pessoas. Queremos a probabilidade p_{N} de que a primeira mulher apareça exatamente na segunda posição. Para resolver isso vamos usar a contagem de permutações (probabilidade clássica) e depois comparar p_{N} com \tfrac{11}{40}.

Passo 2

Para que a primeira mulher fique na posição 2 é necessário que na posição 1 haja um homem e na posição 2 haja uma mulher.
Número de casos favoráveis n(A):
  • Escolher o homem da posição 1: N formas.
  • Escolher a mulher da posição 2: N formas.
  • Permutar as outras 2N-2 pessoas livremente: (2N-2)! formas.
    Logo
n(A)=N\cdot N\cdot(2N-2)!=N^{2}(2N-2)!.
Número de casos totais n(\Omega)=(2N)!. Portanto
p_{N}=\frac{n(A)}{n(\Omega)} =\frac{N^{2}(2N-2)!}{(2N)!} =\frac{N}{2(2N-1)}.

Passo 3

Queremos \displaystyle \frac{N}{2(2N-1)}\le\frac{11}{40}. Como 2N-1>0, multiplicamos em cruz:
40N \le 11\cdot2(2N-1) \quad\Longrightarrow\quad 40N \le 44N - 22 \quad\Longrightarrow\quad 4N \ge 22 \quad\Longrightarrow\quad N\ge \tfrac{22}{4}=5{,}5.
Como N é inteiro e \ge1, segue N\ge6.

Resposta

p_{N}=\displaystyle \frac{N}{2(2N-1)} e p_{N}\le\tfrac{11}{40} a partir de N=6.

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