(UFLA-2000) Um famoso mágico, senhor X, realizou a seguinte mágica: 4=5
1^{\circ} passo: 16-36=25-45
2^{\circ} passo: 16-36+\frac{81}{4}=25-45+\frac{81}{4}
3^{\circ} passo: (4)^{2}-2 \cdot 4 \cdot \frac{9}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=(5)^{2}-2 \cdot 5 \cdot \frac{9}{2}+ \left(\frac{9}{2}\right)^{2}
4^{\circ} passo: \left(4-\frac{9}{2}\right)^{2}=\left(5-\frac{9}{2}\right)^{2}
5^{\circ} passo: 4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}
6^{\circ} passo: 4=5
O passo onde é cometido um absurdo matemático é:
a) 5^{\circ} passo
b) 1^{\circ} passo
c) 2^{\circ} passo
d) 3^{\circ} passo
e) 4^{\circ} passo

Passo 1

O enunciado apresenta uma “prova” de que 4=5 seguindo seis transformações algébricas, e pede para identificar em qual passo surge um absurdo matemático. Vamos usar as regras de operações básicas e de radiciação para verificar cada etapa.

Passo 2

Verificamos o 1^{\circ} passo:
16 - 36 = 25 - 45.
Calculando, 16-36=-20 e 25-45=-20. Logo, esse passo é válido pois ambos os lados são iguais a -20.

Passo 3

No 2^{\circ} passo, somam-se \tfrac{81}{4} aos dois lados:
16 - 36 + \frac{81}{4} \;=\; 25 - 45 + \frac{81}{4}.
Adicionar o mesmo número em ambos os lados de uma igualdade preserva a igualdade, então esse passo também é correto.

Passo 4

No 3^{\circ} e no 4^{\circ} passos reescreve-se cada lado como quadrado completo:
16 - 36 + \frac{81}{4} =4^2 - 2\cdot4\cdot\frac{9}{2} + \Bigl(\frac{9}{2}\Bigr)^2 =\Bigl(4-\frac{9}{2}\Bigr)^2,
25 - 45 + \frac{81}{4} =5^2 - 2\cdot5\cdot\frac{9}{2} + \Bigl(\frac{9}{2}\Bigr)^2 =\Bigl(5-\frac{9}{2}\Bigr)^2.
Tudo aqui é aplicação correta de (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Passo 5

No 5^{\circ} passo toma-se raiz quadrada em cada lado:
\Bigl(4-\frac{9}{2}\Bigr)^2 = \Bigl(5-\frac{9}{2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4-\frac{9}{2} = 5-\frac{9}{2}.
O problema é que de X^2=Y^2 segue-se X=Y \emph{ou} X=-Y. Eles ignoraram a possibilidade do sinal negativo e impuseram apenas X=Y. Esse é o passo absurdo.

Resposta

a) 5^{\circ} passo

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