(CM Fortaleza-2006) Se a +b+c=0, com a, be c números reais, então:
(a) a^{2}+b^{2}+c^{2}=0
(b) a^{2}+b^{2}=c^{2}
(c) a^{3}+b^{3}=c^{3}
(d) a^{2}=b^{2}+c^{2}
(e) a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c

Passo 1

O enunciado diz que a+b+c=0, com a,b,c reais, e pergunta qual das igualdades dadas vale para todos os tripletos que satisfazem essa condição. O conteúdo principal aqui é a fatoração da soma de cubos.

Passo 2

Usamos a identidade conhecida de soma de cubos:
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)\bigl(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\bigr)
Como a+b+c=0, o lado direito anula e temos
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc,
que coincide exatamente com a opção (e).

Passo 3

Para garantir que nenhuma das outras opções é uma identidade geral, basta um contraexemplo. Tome a=1, b=2 e c=-3 (que satisfaz 1+2-3=0). Então
\,a^2+b^2+c^2=1+4+9=14\neq0,
\,a^2+b^2=1+4=5\neq c^2=9,
\,a^3+b^3=1+8=9\neq c^3=(-3)^3=-27,
\,a^2=1\neq b^2+c^2=4+9=13.
Logo, (a), (b), (c) e (d) falham nesse exemplo.

Resposta

(e) a^3+b^3+c^3=3abc

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