(UFPA-98) Os catetos de um triângulo retângulo ABC medem \mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm} e \mathrm{AC}=16 \mathrm{~cm}. Pelo ponto médio M do lado AC , traça-se uma perpendicular MN ao lado BC , sendo N pertencente ao segmento BC . Determine o perímetro do triângulo MNC .

Passo 1

Temos um triângulo retângulo ABC com os catetos \mathrm{AB}=12 cm e \mathrm{AC}=16 cm. O ponto M é o ponto médio de AC, e traçamos a perpendicular MN até BC, com N em BC. Precisamos do perímetro do triângulo MNC.
Conteúdo: vamos usar geometria analítica (coordenadas), equação de reta, projeção ortogonal e distância entre pontos.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com o vértice A na origem, o cateto AB sobre o eixo x e AC sobre o eixo y:
A=(0,0),\quad B=(12,0),\quad C=(0,16).
O ponto médio de AC é
M=\bigl(0,\tfrac{16}{2}\bigr)=(0,8).

Passo 3

A reta BC tem coeficiente angular
m_{BC}=\frac{16-0}{0-12}=-\tfrac{4}{3},
logo sua equação é
y=-\tfrac{4}{3}x+16.
A reta perpendicular a BC passando por M tem coeficiente \tfrac{3}{4} e equação
y-\!8=\tfrac{3}{4}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{3}{4}x+8.
Intersecção N satisfaz
\tfrac{3}{4}x+8=-\tfrac{4}{3}x+16 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{96}{25},\quad y=\frac{272}{25}.
Portanto
N=\Bigl(\tfrac{96}{25},\,\tfrac{272}{25}\Bigr).

Passo 4

Distâncias no plano:
MN =\sqrt{\bigl(\tfrac{96}{25}-0\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{272}{25}-8\bigr)^{2}} =\sqrt{\frac{9216+5184}{625}} =\frac{24}{5}\,\text{cm},
NC =\sqrt{\bigl(\tfrac{96}{25}-0\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{272}{25}-16\bigr)^{2}} =\sqrt{\frac{9216+16384}{625}} =\frac{32}{5}\,\text{cm},
e
MC=\text{metade de }AC=\frac{16}{2}=8\;\text{cm}=\frac{40}{5}\,\text{cm}.

Passo 5

O perímetro de MNC é
MN+NC+MC =\frac{24}{5}+\frac{32}{5}+\frac{40}{5} =\frac{96}{5}\,\text{cm}.

Resposta

\displaystyle \frac{96}{5} cm.

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