(UFPE-93) Considere as funções f, g e h de Re em Re dadas por f(x)=x^3+1, g(x)=raiz[3]x e h(x)= x-1. Pode-se afirmar que:
0) fog não é invertível
  1. fé sobrejetiva
  2. gog é invertível
  3. goh é a função inversa de f
  4. hog é a função inversa de f

Passo 1

Temos as funções de R em R
f(x)=x^3+1, g(x)=raiz[3]x, h(x)=x-1
e queremos verificar para cada afirmação se ela é verdadeira: invertibilidade de composições, sobrejetividade de f e se certas composições geram a inversa de f.

Passo 2

Calculamos (fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(raiz[3]xr)=(raiz[3]x)^3+1=x+1. Como x+1 é bijetora em R, temos que fcirc g é invertível. Logo a afirmação “ fcirc g não é invertível” é falsa.

Passo 3

Para ver se f é sobrejetiva, note que a imagem de f é
,x^3+1mid xinR=R+1=R,
pois x^3 atinge todos os reais. Logo f é sobrejetiva.

Passo 4

A composição (gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=raiz[3]raiz[3]x=x^1/9. Essa função é estritamente crescente em R e tem inversa xmapsto x^9, portanto gcirc g é invertível.

Passo 5

Calculamos (gcirc h)(x)=gl(h(x)r)=raiz[3],x-1,. Como a inversa de f(x)=x^3+1 é
f^-1(x)=raiz[3],x-1,,
vemos que gcirc h=f^-1. Logo essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

Por fim, (hcirc g)(x)=hl(g(x)r)=raiz[3]x-1, que não coincide com raiz[3],x-1,. Portanto hcirc g não é f^-1.

Resposta

As afirmações verdadeiras são 1), 2) e 3).

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