(Unicap-97) Seja uma função do tipo f(x)= a x^2+b x+c, tal que f(2 x-3)=4 x^2+5, qualquer que seja o valor de x real. Determine o valor de c.

Passo 1

O enunciado dá uma função quadrática ,f(x)=a x^2+b x+c e afirma que, para todo real x, vale a identidade por composição
f(2x-3)=4x^2+5
O conteúdo envolvido é composição de polinômios e comparação de coeficientes para igualdades identicamente verdadeiras.

Passo 2

Aplicamos a definição de f substituindo x por (2x-3):
f(2x-3)=a,(2x-3)^2+b,(2x-3)+c

Passo 3

Expandimos e coletamos termos em potências de x:
(2x-3)^2=4x^2-12x+9,
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f(2x-3)=a,(4x^2-12x+9)+b,(2x-3)+c =4a,x^2+(-12a+2b),x+(9a-3b+c)

Passo 4

Como isso deve ser igual a
Da primeira equação vem

Passo 5

Finalmente, substituímos a=1 e b=6 na equação dos termos constantes:
9cdot1-3cdot6+c=5 Longrightarrow 9-18+c=5 Longrightarrow c=14

Resposta

O valor de c é 14.

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