(Unicap-93) Sejam A e B subconjuntos nãovazios do conjunto dos números reais; e sejam f e g duas funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé bijetora então existe a inversa de f.
  1. Se fé par e g é ímpar então f.g é par.
  2. Se A=B e f é injetora, então f admite inversa.
  3. Se gé uma função identidade, então A subset B.
  4. Se gé inversa de f, então A=B.

Passo 1

O enunciado dá A e B subconjuntos não vazios de R e funções f,gcolon Ato B. Precisamos verificar quais das cinco afirmações sobre bijeção, inversa, paridade, identidade e domínio são verdadeiras.

Passo 2

Afirmação 0: “Se f é bijetora então existe a inversa de f.”
Por definição, toda função bijetora admite função inversa de B em A. Logo, a afirmação 0 é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 1: “Se f é par e g é ímpar então fcdot g é par.”
Como f(-x)=f(x) e g(-x)=-g(x), temos
(fcdot g)(-x)=f(-x),g(-x)=f(x),(-g(x))=-(f(x)g(x)),
ou seja, fcdot g é ímpar, não par. Portanto, a afirmação 1 é falsa.

Passo 4

Afirmação 2: “Se A=B e f é injetora, então f admite inversa.”
Injetividade não garante sobrejetividade quando domínio e contradomínio coincidem. Exemplo: f(x)=e^xcolon Rto R é injetora mas não sobrejetora, logo sem inversa em todo R. A afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Afirmação 3: “Se g é função identidade, então Asubset B.”
Identidade significa g(x)=x para todo xin A e g(x)in B. Logo todo xin A deve pertencer a B, ou seja, Asubset B. A afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 4: “Se g é inversa de f, então A=B.”
Para existir inversa basta f ser bijetora de A em B; não é preciso A=B como conjuntos. Exemplo: f(x)=e^xcolon Rto(0,infty) é bijetora com inversa ln, mas Rneq(0,infty). A afirmação 4 é falsa.

Resposta

As afirmativas corretas são a 0 e a 3.

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