(Unicap-93) Sejam A e B subconjuntos nãovazios do conjunto dos números reais; e sejam f e g duas funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé bijetora então existe a inversa de f.
- Se fé par e g é ímpar então f.g é par.
- Se
e f é injetora, então f admite inversa.
- Se gé uma função identidade, então
.
- Se gé inversa de f, então
.
0) Se fé bijetora então existe a inversa de f.
Passo 1
O enunciado dá
e
subconjuntos não vazios de
e funções
. Precisamos verificar quais das cinco afirmações sobre bijeção, inversa, paridade, identidade e domínio são verdadeiras.
Passo 2
Afirmação 0: “Se
é bijetora então existe a inversa de
.”
Por definição, toda função bijetora admite função inversa de em
. Logo, a afirmação 0 é verdadeira.
Por definição, toda função bijetora admite função inversa de
Passo 3
Afirmação 1: “Se
é par e
é ímpar então
é par.”
Como e
, temos
Como
ou seja,
é ímpar, não par. Portanto, a afirmação 1 é falsa.
Passo 4
Afirmação 2: “Se
e
é injetora, então
admite inversa.”
Injetividade não garante sobrejetividade quando domínio e contradomínio coincidem. Exemplo: é injetora mas não sobrejetora, logo sem inversa em todo
. A afirmação 2 é falsa.
Injetividade não garante sobrejetividade quando domínio e contradomínio coincidem. Exemplo:
Passo 5
Afirmação 3: “Se
é função identidade, então
.”
Identidade significa para todo
e
. Logo todo
deve pertencer a
, ou seja,
. A afirmação 3 é verdadeira.
Identidade significa
Passo 6
Afirmação 4: “Se
é inversa de
, então
.”
Para existir inversa basta ser bijetora de
em
; não é preciso
como conjuntos. Exemplo:
é bijetora com inversa
, mas
. A afirmação 4 é falsa.
Para existir inversa basta
Resposta
As afirmativas corretas são a 0 e a 3.