(UFPI-03) Sabendo que o sistema \left\{\begin{array}{l}x \cdot \sin a+y \cdot \cos a=0 \\\ x \cdot \cos a+y \cdot \sin a=0\end{array}\right. possui infinitas soluções, podemos afirmar corretamente que:
a) a=\pi / 3+k \pi / 2, k \in Z
b) a=\pi / 2+k \pi / 3, k \in Z
c) a=k \pi, k \in Z
d) a=2 k \pi, k \in Z
c) a=\pi / 4+k \pi / 2, k \in Z

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em x,y\) \[\begin{cases} x\,\sin a + y\,\cos a = 0,\\\ x\,\cos a + y\,\sin a = 0, \end{cases}
e pede os valores de (a] para que haja infinitas soluções. No conteúdo de sistemas lineares, infinitas soluções ocorrem quando o determinante da matriz de coeficientes é zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
M = \begin{pmatrix} \sin a & \cos a\\\ \cos a & \sin a \end{pmatrix}.
Para um sistema 2\times2, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos da diagonal secundária.

Passo 3

Calculamos
\det M = \sin a\cdot\sin a \;-\;\cos a\cdot\cos a =\sin^2 a - \cos^2 a.
Para ter infinitas soluções, impomos \det M=0.

Passo 4

Da condição
\sin^2 a - \cos^2 a = 0
segue
\sin^2 a = \cos^2 a.
Dividindo por \cos^2 a (quando não nula) obtemos \tan^2 a = 1, ou seja \tan a = \pm 1.

Passo 5

As soluções de \tan a = \pm 1 são
a = \frac{\pi}{4} + k\;\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

a = \dfrac{\pi}{4} + k\,\dfrac{\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}.

Exercícios de Livros Relacionados