(UFRGS-14) Considere a configuração dos números dispostos nas colunas e linhas abaixo.
coluna 0 coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna 4 coluna 5 coluna 6 coluna 7
linha 0
linha 1 1 1
linha 2 1 2 1
linha 3 1 3 3 1
linha 4 1 4 6 4 1
linha 5 1 5 10 10 5 1
linha 6 1 6 15 20 15 6 1
linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1
... ... ... ... ... ... ... ... ...
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é
(A) 15 .
(B) 91 .
(C) 105 .
(D) 120 .
(E) 455 .

Passo 1

O enunciado mostra os números dispostos segundo o triângulo de Pascal, em que a entrada na linha n e coluna k é o coeficiente binomial \binom{n}{k}. Pede-se o número na linha 15 e coluna 13. Vamos usar coeficientes binomiais e suas propriedades.

Passo 2

Em geral, no triângulo de Pascal, o valor na linha n e coluna k é o coeficiente binomial \binom{n}{k}. Assim, o valor procurado é \binom{15}{13}.

Passo 3

Aplicamos a simetria dos coeficientes binomiais: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Logo,
\binom{15}{13} = \binom{15}{15-13} = \binom{15}{2}.

Passo 4

Agora calculamos \binom{15}{2} pela definição:
\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105.

Resposta

(C) 105

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