(Unifor-00) A soma
\binom{3}{0}+\binom{4}{1}+\binom{5}{2}+\ldots+\binom{12}{9}
é igual a:
a) \binom{12}{10}
b) \binom{13}{9}
c) \binom{13}{10}
d) \binom{15}{9}
e) \binom{65}{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\binom{3}{0} + \binom{4}{1} + \binom{5}{2} + \cdots + \binom{12}{9}
Esse é um exercício de combinatória que envolve soma de coeficientes binomiais e a identidade conhecida como “hockey-stick” ou “identidade do bastão”.

Passo 2

Observe que em cada termo podemos usar
\binom{k+3}{k} = \binom{k+3}{(k+3)-k} = \binom{k+3}{3}.
Fazendo j = k+3, quando k varia de 0 até 9, j varia de 3 até 12. Logo
\sum_{k=0}^{9} \binom{k+3}{k} = \sum_{j=3}^{12} \binom{j}{3}.

Passo 3

Pela identidade do bastão temos, para inteiros N\ge r,
\sum_{j=r}^{N} \binom{j}{r} = \binom{N+1}{r+1}
Aqui r=3 e N=12, então
\sum_{j=3}^{12} \binom{j}{3} = \binom{13}{4}.
Como \binom{13}{4} = \binom{13}{9}, concluímos que a soma vale \binom{13}{9}.

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde à letra (b).

Resposta

(b)

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