(UFRN-2007) Duas velas, cada uma com 1 m de comprimento, são feitas de modo que uma queime completamente 6 horas depois de ser acesa e a outra leve 4 horas para queimar. Se as velas forem acesas simultaneamente, o tempo necessário para que uma atinja duas vezes o comprimento da outra será
A) 2 horas.
B) 3 horas.
C) 4 horas

Passo 1

O enunciado diz que temos duas velas de comprimento inicial \,1 m, queimando uniformemente: uma apaga em 6 h e outra em 4 h. Queremos o instante t em que o comprimento de uma delas é duas vezes o da outra. Para isso, vamos modelar cada comprimento como função linear de t e resolver a equação apropriada.

Passo 2

Definimos as funções dos comprimentos restantes após t horas:
A vela queima em 6 h tem taxa \tfrac{1}{6} m/h, então
L_1(t)=1-\frac{t}{6}.
A vela queima em 4 h tem taxa \tfrac{1}{4} m/h, então
L_2(t)=1-\frac{t}{4}.

Passo 3

Procuramos primeiro t tal que
L_1(t)=2\,L_2(t).
Substituindo as expressões:
1-\frac{t}{6}=2\Bigl(1-\frac{t}{4}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{t}{6}=2-\frac{t}{2}.
Rearranjando termos:
1-2=-\frac{t}{2}+\frac{t}{6} \quad\Longrightarrow\quad -1=-\frac{3t}{6}+\frac{t}{6} =-\frac{2t}{6} =-\frac{t}{3} \quad\Longrightarrow\quad t=3\text{ h}.

Passo 4

Verificamos também se existe t tal que
L_2(t)=2\,L_1(t).
Isso dá
1-\frac{t}{4}=2\Bigl(1-\frac{t}{6}\Bigr) =2-\frac{t}{3} \quad\Longrightarrow\quad 1-2=-\frac{t}{3}+\frac{t}{4}
-1=-\frac{4t}{12}+\frac{3t}{12} =-\frac{t}{12} \quad\Longrightarrow\quad t=12\text{ h},
mas 12 h excede o tempo de queima de ambas as velas, logo não é viável.

Passo 5

O único instante válido em que o comprimento de uma vela é o dobro do comprimento da outra é
t=3\text{ h}.

Resposta

3 horas.

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