(UFU-2001) Considere os números naturais ímpares 1,3,5, ldots, 2001. Se x=1 times 3 times 5 times ldots times 2001, o algarismo que ocupa a ordem das unidades de x é:
a) 7
b) 3
c) 5
d) 1

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de
x = 1 times 3 times 5 times cdots times 2001
O conteúdo envolve aritmética modular em base 10, isto é, estudar xpmod10.

Passo 2

Note que, para qualquer número ímpar k, se um produto tem algarismo das unidades igual a 5, então
5times kequiv5pmod10
pois 5cdot1=5, 5cdot3=15, 5cdot5=25, 5cdot7=35, 5cdot9=45 — todos terminam em 5.

Passo 3

Na sequência de ímpares de 1 até 2001 há vários que terminam em 5 (por exemplo 5, 15, 25, ···, 1995). Basta o primeiro fator com unidade 5 colocar
x equiv 5 pmod10,
e qualquer multiplicação posterior por outro ímpar não altera esse algarismo.

Resposta

c) 5

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