(Unesp-SP) Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a ser causado à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função P(t)=P04-3(2^-t), onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto. Baseado nessas informações, pode-se afirmar que:
a) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30 % de P0.
b) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida a 30 % de P0.
c) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40 % de P0.
d) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida a 40 % de P0.
e) P(t) não será inferior a 25 % de P0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de população
P(t) = P04 - 3l(2^-tr)
onde t é o tempo em anos e P0 é a população inicial. Precisamos comparar as porcentagens de P(t) em relação a P0 para t=1 e t=2 e verificar o comportamento limite quando ttoinfty.

Passo 2

Calcular a fração de P0 após 1 ano. Substituímos t=1 em
P(1) = P04 - 3l(2^-1r) = P04 - 3cdot12 = P04 - 1,5 = P02,5
Logo
P(1)P0 = 12,5 = 0,4 = 40%
Como tfracP(1)P0=40%, as afirmações que dizem “após 1 ano … reduzida a 30 %” (itens a e b) estão erradas.

Passo 3

Calcular a fração de P0 após 2 anos. Substituímos t=2 em
P(2) = P04 - 3l(2^-2r) = P04 - 3cdot14 = P04 - 0,75 = P03,25
Logo
P(2)P0 = 13,25approx0,3077 approx30%
Como tfracP(2)P0approx30%, as afirmações que dizem “após 2 anos … reduzida a 40 %” (itens c e d) também estão erradas.

Passo 4

Analisar o limite quando ttoinfty:
limttoinfty2^-t=0 Longrightarrow limttoinftyP(t)=P04-3cdot0=P04=25%,P0
Isso mostra que P(t) nunca fica abaixo de 25% de P0.

Resposta

e) P(t) não será inferior a 25% de P0.

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