(UNICAMP-92) Calcule a área de um triângulo em função de um lado l e dos dois ângulos \alpha e \beta a ele adjacentes.

Passo 1

Temos um triângulo com um lado de comprimento l e os ângulos adjacentes a esse lado dados por \alpha e \beta. O que queremos é a área desse triângulo em função de l, \alpha e \beta. Para isso vamos usar o Teorema dos Senos e a fórmula da área em termos de dois lados e o ângulo entre eles.

Passo 2

Denominemos o triângulo como ABC, com
\angle A = \alpha,
\angle B = \beta,
\angle C = \gamma.
O lado AB fica entre \alpha e \beta, portanto AB = l. Logo
\gamma = \pi - \alpha - \beta.

Passo 3

Pelo Teorema dos Senos, temos
\frac{a}{\sin\alpha} \;=\;\frac{b}{\sin\beta}\;=\;\frac{c}{\sin\gamma},
onde a=BC, b=AC e c=AB=l.

Passo 4

Isolando a e b em função de l e \gamma, vem
a = \frac{l\,\sin\alpha}{\sin\gamma}, \qquad b = \frac{l\,\sin\beta}{\sin\gamma}.

Passo 5

A área de um triângulo também é dada por
\text{Área} = \tfrac12\,a\,b\,\sin\gamma.Á
Substituindo a e b, obtemos
\text{Área} = \tfrac12 \,\frac{l\,\sin\alpha}{\sin\gamma}\,\frac{l\,\sin\beta}{\sin\gamma}\,\sin\gamma = \frac{l^{2}}{2}\,\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin\gamma}.Á

Passo 6

Como \gamma = \pi - \alpha - \beta, temos \sin\gamma = \sin(\alpha+\beta). Portanto a área final é
\text{Área} = \frac{l^{2}}{2}\,\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.Á

Resposta

\boxed{ \text{Área} = \frac{l^{2}}{2}\,\frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} }Á

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