(Unicamp-SP) Considere a matriz , cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que ai j=0 para todo elemento em que j>i, e que ai j=i-j+1 para os elementos em que j <= i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A^-1.
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz
isto é, abaixo ou na diagonal, e precisamos escrever e calcular .
Passo 2
Para (a) repare que
O determinante de uma matriz 3times3 é a soma de seis produtos, cada um contendo exatamente um elemento de cada linha e cada coluna (cada termo corresponde a uma permutação de 1,2,3).
Se três posições forem as únicas não nulas, só haverá chance de obter um desses seis produtos não nulo se essas três posições formarem uma “transversal”: exatamente uma em cada linha e em cada coluna.
Há 3!=6 conjuntos de três posições que formam uma transversal (os seis permutáveis), e ao todo existem binom93=84 maneiras de escolher quais três entradas serão não nulas.
Passo 3
Como os valores não nulos são contínuos e “genéricos”, sempre que o padrão de zeros permitir uma transversal, a probabilidade de que o termo de soma correspondente seja exatamente zero é nula, logo num padrão transversal Pr(det Aneq0)=1. Em padrões que não formem transversal, Pr(det Aneq0)=0. Assim a probabilidade desejada é
nº de padrões transversaisnº total de padrões=684=114 ºõºõ
Passo 4
Para (b), como aij=0 se j>i e aij=i-j+1 se j<= i, as entradas de A são
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 208