(Unicamp-SP) Considere a matriz
A=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33], cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que ai j=0 para todo elemento em que j>i, e que ai j=i-j+1 para os elementos em que j <= i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A^-1.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz
isto é, abaixo ou na diagonal, e precisamos escrever e calcular .

Passo 2

Para (a) repare que
  1. O determinante de uma matriz 3times3 é a soma de seis produtos, cada um contendo exatamente um elemento de cada linha e cada coluna (cada termo corresponde a uma permutação de 1,2,3).
  2. Se três posições forem as únicas não nulas, só haverá chance de obter um desses seis produtos não nulo se essas três posições formarem uma “transversal”: exatamente uma em cada linha e em cada coluna.
  3. 3!=6 conjuntos de três posições que formam uma transversal (os seis permutáveis), e ao todo existem binom93=84 maneiras de escolher quais três entradas serão não nulas.

Passo 3

Como os valores não nulos são contínuos e “genéricos”, sempre que o padrão de zeros permitir uma transversal, a probabilidade de que o termo de soma correspondente seja exatamente zero é nula, logo num padrão transversal Pr(det Aneq0)=1. Em padrões que não formem transversal, Pr(det Aneq0)=0. Assim a probabilidade desejada é
nº de padrões transversaisnº total de padrões=684=114 ºõºõ

Passo 4

Para (b), como aij=0 se j>i e aij=i-j+1 se j<= i, as entradas de A são
A= 1-1+1 & 0 & 0 2-1+1 & 2-2+1 & 0 3-1+1 & 3-2+1 & 3-3+1 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1

Passo 5

Como A é triangular inferior com diagonal de uns, é unitariamente invertível e A=I+L onde
L= 0&0&02&0&03&2&0
Sabendo que L^3=0, usamos a série finita
A^-1=(I+L)^-1=I-L+L^2
Calculando
L^2=0&0&00&0&04&0&0,
temos
A^-1=I-L+L^2 = 1&0&0-2&1&0-3&-2&1 +0&0&00&0&04&0&0 = 1&0&0 -2&1&0 1&-2&1

Resposta

(a) 114
(b)
A= 1&0&0 2&1&0 3&2&1 , A^-1= 1&0&0 -2&1&0 1&-2&1

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