(UNICAMP-97) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.
a) Calcule os comprimentos dos catetos.
b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.
a) Calcule os comprimentos dos catetos.
b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.
Passo 1
O enunciado descreve um triângulo retângulo com hipotenusa de
m e cujos ângulos agudos satisfazem que um vale o triplo do outro. O conteúdo necessário envolve razões trigonométricas (seno e cosseno) e uso da fórmula de meio-ângulo para expressar
e
.
Passo 2
Seja
o menor ângulo agudo. Então o outro vale
e, como a soma dos agudos é
, temos
logo o outro é
.
Passo 3
Em qualquer triângulo retângulo com hipotenusa
, os catetos são
Aqui o cateto menor é
e o maior é
.
Passo 4
Usamos a fórmula de meio-ângulo:
Passo 5
Para ver que o cateto maior está entre
cm e
cm, fazemos a aproximação
e como
, em centímetros isso fica
Resposta
a) Os comprimentos dos catetos são
b) Como
m, o cateto maior mede entre
cm e
cm.