(UNICAMP-97) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.
a) Calcule os comprimentos dos catetos.
b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo retângulo com hipotenusa de 1 m e cujos ângulos agudos satisfazem que um vale o triplo do outro. O conteúdo necessário envolve razões trigonométricas (seno e cosseno) e uso da fórmula de meio-ângulo para expressar \sin(22,5^\circ) e \cos(22,5^\circ).

Passo 2

Seja \theta o menor ângulo agudo. Então o outro vale 3\theta e, como a soma dos agudos é 90^\circ, temos
\theta + 3\theta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad 4\theta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 22,5^\circ,
logo o outro é 3\theta = 67,5^\circ.

Passo 3

Em qualquer triângulo retângulo com hipotenusa 1, os catetos são
\text{cateto oposto a \(\theta\)} = \sin(\theta), \qquad \text{cateto oposto a \(90^\circ-\theta\)} = \cos(\theta).
Aqui o cateto menor é \sin(22,5^\circ) e o maior é \sin(67,5^\circ)=\cos(22,5^\circ).

Passo 4

Usamos a fórmula de meio-ângulo:
\sin\bigl(22,5^\circ\bigr) = \sin\Bigl(\tfrac{45^\circ}{2}\Bigr) = \sqrt{\frac{1-\cos45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1-\tfrac{\sqrt2}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2},
\cos\bigl(22,5^\circ\bigr) = \cos\Bigl(\tfrac{45^\circ}{2}\Bigr) = \sqrt{\frac{1+\cos45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1+\tfrac{\sqrt2}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.

Passo 5

Para ver que o cateto maior está entre 92 cm e 93 cm, fazemos a aproximação
\cos(22,5^\circ) = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \approx 0,9239\\ (\text{m}),
e como 0,92<0,9239<0,93, em centímetros isso fica
92 < 0,9239\times100 < 93.

Resposta

a) Os comprimentos dos catetos são
\text{cateto menor} = \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\\ \text{m}, \qquad \text{cateto maior} = \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\\ \text{m}.
b) Como \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\approx0,9239 m, o cateto maior mede entre 92 cm e 93 cm.

Exercícios de Livros Relacionados