(Unicamp-SP) Seja dada a reta x-3 y+6=0 no plano x y.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45^circ com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2,5), determine as equações das retas mencionadas no item (a).

Passo 1

O enunciado pede retas que passam por um ponto P e formam ângulo de 45^circ com a reta dada
x - 3y + 6 = 0
O conteúdo é geometria analítica no plano: usaremos a fórmula do ângulo entre retas em termos das declividades (ou coeficientes angulares).

Passo 2

Primeiro, achamos a declividade m0 da reta dada. Da equação
x - 3y + 6 = 0
isolamos y:
y = tfrac13x + 2,
logo
m0 = tfrac13
A condição para que outra reta de declive m forme ângulo alpha com essa reta é
tan(alpha) = |m - m01 + m,m0|
Como queremos alpha = 45^circ e tan(45^circ)=1, a condição vira
|m - tfrac131 + mcdottfrac13| = 1

Passo 3

Resolvendo
m - tfrac131 + tfracm3 = pm 1
temos dois casos:
Caso +!1:
m - tfrac13 = 1 + tfracm3 Longrightarrow 3m -1 = 3 + m Longrightarrow m = 2
Caso -!1:
m - tfrac13 = -1 - tfracm3 Longrightarrow 3m -1 = -3 - m Longrightarrow 4m = -2 Longrightarrow m = -tfrac12
Como surgem duas soluções distintas para m, concluímos que para qualquer ponto P há exatamente duas retas que formam 45^circ com a dada.

Passo 4

Agora, para P=(2,5), usamos a forma ponto-declive ;y - y0 = m(x - x0):
Para m=2:
y - 5 = 2,(x - 2) Longrightarrow y = 2x + 1
Para m=-tfrac12:
y - 5 = -tfrac12,(x - 2) Longrightarrow y = -tfrac12,x + 6

Resposta

(a) Há 2 retas.
(b) As equações são
y = 2x + 1 e y = -tfrac12x + 6

Exercícios de Livros Relacionados