(Unicamp-SP) Seja dada a reta no plano .
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas , determine as equações das retas mencionadas no item (a).
Passo 1
O enunciado pede retas que passam por um ponto e formam ângulo de com a reta dada
O conteúdo é geometria analítica no plano: usaremos a fórmula do ângulo entre retas em termos das declividades (ou coeficientes angulares).
Passo 2
Primeiro, achamos a declividade da reta dada. Da equação
isolamos :
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A condição para que outra reta de declive forme ângulo com essa reta é
Como queremos alpha = 45^circ e tan(45^circ)=1, a condição vira
|m - tfrac131 + mcdottfrac13| = 1
Passo 3
Resolvendo
m - tfrac131 + tfracm3 = pm 1
temos dois casos:
Caso +!1:
m - tfrac13 = 1 + tfracm3 Longrightarrow 3m -1 = 3 + m Longrightarrow m = 2
Caso -!1:
m - tfrac13 = -1 - tfracm3 Longrightarrow 3m -1 = -3 - m Longrightarrow 4m = -2 Longrightarrow m = -tfrac12
Como surgem duas soluções distintas para m, concluímos que para qualquer pontoP há exatamente duas retas que formam 45^circ com a dada.
Passo 4
Agora, para P=(2,5), usamos a forma ponto-declive ;y - y0 = m(x - x0):
Para m=2:
y - 5 = 2,(x - 2) Longrightarrow y = 2x + 1
Para m=-tfrac12:
y - 5 = -tfrac12,(x - 2) Longrightarrow y = -tfrac12,x + 6
Resposta
(a) Há 2 retas.
(b) As equações são
y = 2x + 1 e y = -tfrac12x + 6
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 81