(FGV-SP) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação |3x| + |4y| = 12 tem área igual a:
a) 6
b) 12
c) 16
d) 24
e) 25

Passo 1

O enunciado dá o polígono do plano definido pela relação
lvert 3xrvert + lvert 4yrvert = 12
Queremos encontrar a área desse polígono. O conteúdo envolve manipular valores absolutos e calcular a área de um quadrilátero no plano cartesiano.

Passo 2

Para identificar o polígono, reescrevemos a equação dividindo por 12:
lvert 3xrvert12 + lvert 4yrvert12 = 1 Longrightarrow lvert xrvert4 + lvert yrvert3 = 1
Isso mostra que os interceptos com os eixos são (pm4,0) e (0,pm3).

Passo 3

Os pontos (4,0), (0,3), (-4,0) e (0,-3) formam um losango (um paralelogramo) centrado na origem. Para calcular sua área, usamos a fórmula do losango em função das diagonais:
área = D1 cdot D22, á
onde D1 e D2 são as medidas das diagonais.

Passo 4

Aqui as diagonais valem
D1 = 8 (de (-4,0) a (4,0))
e
D2 = 6 (de (0,-3) a (0,3)).
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área = 8 cdot 62 = 24 á

Resposta

d) 24

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