(Unicap-94) Sejam A e B subconjuntos não vazios do domínio dos números reais e feg funções com domínio em A e contradomínio em B. Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé a identidade então A=B.
  1. Se fé par e g é par então (f+g) / 2 é par.
  2. Se fé crescente e g decrescente, então existe x0 in A tal que f(x0)=g(x0).
  3. Se g é a inversa de f então A=B.
  4. f o g=g o f para todo elemento do domínio.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções de A em B, com A,BsubsetR não vazios. Precisamos verificar quais das afirmações sobre identidade, paridade, monotonicidade, inversa e comutatividade de composições são verdadeiras.

Passo 2

Item 0: “Se f é a identidade então A=B.”
Se chamamos f de identidade, então
f(x)=xforall xin A
Para que fcolon Ato B seja bem definida, todo xin A deve pertencer a B, logo Asubset B. Por outro lado, se é identidade “de A em B” normalmente assumimos também que f é sobrejetora em B, o que implica Bsubset A. Assim A=B.
to Item 0 é verdadeiro.

Passo 3

Item 1: “Se f é par e g é par então f+g2 é par.”
Função par significa domínio simétrico e
f(-x)=f(x), g(-x)=g(x)
Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
e dividir por 2 não muda a paridade.
to Item 1 é verdadeiro.

Passo 4

Item 2: “Se f é crescente e g decrescente, então existe x0in A tal que f(x0)=g(x0).”
Sem hipótese de continuidade ou relação entre os valores extremos de f e g, não há garantia de interseção. Exemplo em A=[0,1]:
f(x)=x (crescente), g(x)=100-x (decrescente),
aqui f(x)<g(x) em todo A, logo não há x0 com f(x0)=g(x0).
to Item 2 é falso.

Passo 5

Item 3: “Se g é a inversa de f então A=B.”
Por definição, se fcolon Ato B e g é sua inversa, então gcolon Bto A. Mas como no enunciado ambos têm domínio em A, para que “ g” seja realmente a inversa de “ f” precisamos que A=B.
to Item 3 é verdadeiro.

Passo 6

Item 4: “ fcirc g = gcirc f para todo elemento do domínio.”
Em geral composição de funções não é comutativa. Basta escolher, por exemplo,
f(x)=x+1, g(x)=2x
em A=R; então
(fcirc g)(x)=2x+1neq (gcirc f)(x)=2(x+1)=2x+2
to Item 4 é falso.

Resposta

As alternativas corretas são 0, 1 e 3.

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