(Unicap-94) Sejam A e B subconjuntos não vazios do domínio dos números reais e feg funções com domínio em A e contradomínio em B. Assinale as alternativas corretas:
0) Se fé a identidade então
.
- Se fé par e g é par então
é par.
- Se fé crescente e g decrescente, então existe
tal que
.
- Se g é a inversa de f então
.
-
para todo elemento do domínio.
0) Se fé a identidade então
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções de
em
, com
não vazios. Precisamos verificar quais das afirmações sobre identidade, paridade, monotonicidade, inversa e comutatividade de composições são verdadeiras.
Passo 2
Item
: “Se
é a identidade então
.”
Se chamamos de identidade, então
Se chamamos
Para que
seja bem definida, todo
deve pertencer a
, logo
. Por outro lado, se é identidade “de
em
” normalmente assumimos também que
é sobrejetora em
, o que implica
. Assim
.
Item
é verdadeiro.
Passo 3
Item
: “Se
é par e
é par então
é par.”
Função par significa domínio simétrico e
Função par significa domínio simétrico e
Então
e dividir por
não muda a paridade.
Item
é verdadeiro.
Passo 4
Item
: “Se
é crescente e
decrescente, então existe
tal que
.”
Sem hipótese de continuidade ou relação entre os valores extremos de e
, não há garantia de interseção. Exemplo em
:
Sem hipótese de continuidade ou relação entre os valores extremos de
aqui
em todo
, logo não há
com
.
Item
é falso.
Passo 5
Item
: “Se
é a inversa de
então
.”
Por definição, se e
é sua inversa, então
. Mas como no enunciado ambos têm domínio em
, para que “
” seja realmente a inversa de “
” precisamos que
.
Item
é verdadeiro.
Por definição, se
Passo 6
Item
: “
para todo elemento do domínio.”
Em geral composição de funções não é comutativa. Basta escolher, por exemplo,
Em geral composição de funções não é comutativa. Basta escolher, por exemplo,
em
; então
Resposta
As alternativas corretas são
,
e
.