2^{x} & 0 & 0
\end{array}\right|=1
\]
Assinale a alternativa correta:
a) A equação não possui solução real.
b) A equação possui uma única solução real.
c) A equação possui apenas duas soluções reais e distintas.
d) A equação possui infinitas soluções reais.
e) O número real $x=\sqrt{\pi-1}$ é solução da equação dada.
182. (Unicamp-SP) Seja dada a matriz
\(A=\left[\begin{array}{ccc}x & 2 & 0 \\ 2 & x & 6 \\ 0 & 6 & 16 x\end{array}\right]\), em que $x$ é um número real.
a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo.
b) Tomando \(\mathrm{C}=\left[\begin{array}{r}3 \\ 4 \\ -1\end{array}\right]\), e supondo que, na matriz $\mathrm{A}, \mathrm{x}=-2$, calcule $\mathrm{B}=\mathrm{AC}$.
183. (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz
\(A=\left[\begin{array}{lrr}x & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 x & -1 & 3\end{array}\right]\)
é nulo, então:
a) $x=-3$
b) $x=-\frac{7}{4}$
c) $x=-1$
d) $x=0$
e) $x=\frac{7}{4}$
184. (FEI-SP) Seja a matriz \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 1 & \operatorname{sen} x & 0 \\ 0 & 4 & \cos x\end{array}\right), \operatorname{com} x \in \mathbb{R}\). Sendo $\operatorname{det}(A)$ o determinante da matriz A, podemos afirmar que os valores mínimo e máximo assumidos por $\operatorname{det}(A)$ são, respectivamente:
a) $\frac{23}{2}$ e $\frac{25}{2}$
b) 11 e 13
c) $\frac{11}{2}$ e $\frac{13}{2}$
d) 23 e 25
e) -1 e 1
185. (Mackenzie-SP) O valor de $x$, na equação \(\left|\begin{array}{lll}\log x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \log 2 & 1 & 1\end{array}\right|=1\), é:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 1
e) $\sqrt{5}$
186. (UF-BA) Considere a matriz simétrica \(A=\left(a_{i j}\right), 1 \leqslant i \leqslant 3,1 \leqslant j \leqslant 3\), que satisfaz as seguintes condições:
I) $\operatorname{Se} j=i+1$ ou $i=j+1$, então $a_{i j}$ é a distância do ponto $P$ ao ponto $Q$, sendo $P$ e $Q$ interseções da parábola $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1$ com a reta $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+1$.
II) $\operatorname{Se~j}=\mathrm{i}+2 \mathrm{ou} \mathrm{i}=\mathrm{j}+2$, então $\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}$ é a área do triângulo PQR , sendo o ponto R o simétrico de Q em relação à origem do sistema de coordenadas xOy.
III) Se $\mathrm{i}=\mathrm{j}$, então $\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}$ é o valor máximo da função quadrática $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}$.
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante.
187. (UE-CE) Seja $X=M+M^{2}+M^{3}+\ldots+M^{k}$, em que $M$ é a matriz \(\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\) e $k$ é um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de $k^{2}+3 k-1$ é:
a) 207
b) 237
c) 269
d) 377
188. (ITA-SP) Sejam A, B $\in M_{3 \times 3}(\mathbb{R})$. Mostre as propriedades abaixo:
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo $X \in M_{3 \times 1}(\mathbb{R})$, então A é a matriz nula.
b) Se $A$ e $B$ são não nulas e tais que $A B$ é a matriz nula, então det $A=\operatorname{det} B=0$.
189. (UF-AM) Sendo A \(=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 6 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 9 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\) uma matriz real, então o det A é:
a) -3
b) 3
c) 10
d) -10
e) 24
190. (FGV-SP) As matrizes \(\mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{4 \times 4} \mathrm{e} \mathrm{B}=\left(\mathrm{b}_{\mathrm{ij}}\right)_{4 \times 4}\) são tais que $2 \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=3 \mathrm{~b}_{\mathrm{ij}}$. Se o determinante da matriz A é igual a $\frac{3}{4}$, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 0
b) $\frac{4}{27}$
c) $\frac{9}{8}$
d) 2
e) $\frac{243}{64}$
191. (ITA-SP) Determine os valores de $\alpha$ e $\gamma$ que anulem o determinante abaixo.
\(\left|\begin{array}{lcccl}1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \alpha^{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 & \gamma^{2} \\ \alpha & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{25} & 0 & 0 & \gamma\end{array}\right|\)
192. (ITA-SP) Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são $1,1+x_{1}, 1+x_{2}, \ldots, 1+x_{n}$ e todos os outros termos são iguais a 1 . Sabe-se que \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é $\frac{1}{2}$ e a razão é 4 . Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 256.
193. (Mackenzie-SP) Se \(A^{3}=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\ -4 & 6\end{array}\right)\), o triplo do determinante da matriz A é igual a:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
194. (ITA-SP) Considerando que $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ e $x_{5}$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (P. A.) de razão $r$ e que $\operatorname{det}(A)-4 \operatorname{det}(B)=1$, sendo A e B matrizes dadas por \(A=\left(\begin{array}{lll}1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \\ 1 & x_{5} & x_{5}^{2}\end{array}\right)\) e \(B=\left(\begin{array}{lll}1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2}\end{array}\right)\), calcule a razão da referida P.A.
195. (UF-MT) Seja A uma matriz quadrada, de ordem $n$, que satisfaz a equação matricial $A^{3}=3 A$. Sabendo-se que o determinante de A é um número inteiro positivo, o valor de $n$, necessariamente, é:
a) Múltiplo de 3 .
c) Primo.
e) Múltiplo de 5 .
b) Ímpar.
d) Par.
196. (Mackenzie-SP) A soma das soluções inteiras da inequação \(\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & x^{2} & 9\end{array}\right| \geqslant 0\) é:
a) 0
b) 2
c) 5
d) 6
e) 7
197. (UF-PR) Sendo I a matriz identidade de ordem \(2, A=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right]\) e \(B=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\), con-
sidere as afirmativas a seguir:
1. $A+A^{t}=2 \cdot 1$
1. $A+A^{t}=2 \cdot 1$
2. $\operatorname{det}(A \cdot B)=-\sqrt{3}$
3. $B^{2007}=B$
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
e) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
198. (UF-BA) Dadas as matrizes \(A=\left(\begin{array}{ccc}\operatorname{sen} 3 x & \cos 3 x & 0 \\ -\cos 3 x & \operatorname{sen} 3 x & 0 \\ 0 & 0 & \frac{x}{3-x}\end{array}\right)\) e \(B=\left(\begin{array}{lll}0 & \sqrt{2} & 0 \\ 3^{x} & 0 & 4 \\ 9 & 0 & 2^{x}\end{array}\right)\), encontre o conjunto solução da inequação $\operatorname{det}(A B) \leqslant 0$, sendo $\operatorname{det}(A B)$ o determinante da matriz produto AB .