(UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:
cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero;
cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero.
Por exemplo, a matriz permuta os elementos da matriz coluna Q=[la b c], transformando-a na matriz P=[lb c a], pois P=M cdot Q.
Pode-se afirmar que a matriz que permuta [la b c], transformando-a em [lc a b], é:
a) [lll0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0]
b) [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0]
c) [lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1]
d) [lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0]
e) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1]
Passo 1
O enunciado pede uma matriz de permutação que, multiplicada pela coluna original
produz a coluna
Sabemos que é uma matriz com exatamente um “1” em cada linha e em cada coluna, e zeros nos demais lugares.
que deve ser igual à primeira componente de P, isto é, c.
Passo 3
Da igualdade
m11a + m12b + m13c = c
concluímos que m13=1 e m11=m12=0. Logo a primeira linha de M é l[0;0;1r].
Passo 4
Na segunda linha, a multiplicação dá
m21a + m22b + m23c,
que deve ser igual a a. Logo m21=1 e m22=m23=0. Assim a segunda linha é l[1;0;0r].
Passo 5
Na terceira linha, temos
m31a + m32b + m33c = b,
de onde m32=1 e m31=m33=0. A terceira linha é l[0;1;0r]. Portanto
M = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, vemos que corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 137