(UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições:
  • cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero;
  • cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero.
    Por exemplo, a matriz M=[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0] permuta os elementos da matriz coluna Q=[la b c], transformando-a na matriz P=[lb c a], pois P=M cdot Q.
    Pode-se afirmar que a matriz que permuta [la b c], transformando-a em [lc a b], é:
    a) [lll0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0]
    b) [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0]
    c) [lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1]
    d) [lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0]
    e) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz de permutação que, multiplicada pela coluna original
produz a coluna
Sabemos que é uma matriz com exatamente um “1” em cada linha e em cada coluna, e zeros nos demais lugares.

Passo 2

Escrevemos M em termos de seus elementos mij:
M = m11 & m12 & m13 m21 & m22 & m23 m31 & m32 & m33
A multiplicação M,Q gera, na primeira linha,
m11a + m12b + m13c,
que deve ser igual à primeira componente de P, isto é, c.

Passo 3

Da igualdade
m11a + m12b + m13c = c
concluímos que m13=1 e m11=m12=0. Logo a primeira linha de M é l[0;0;1r].

Passo 4

Na segunda linha, a multiplicação dá
m21a + m22b + m23c,
que deve ser igual a a. Logo m21=1 e m22=m23=0. Assim a segunda linha é l[1;0;0r].

Passo 5

Na terceira linha, temos
m31a + m32b + m33c = b,
de onde m32=1 e m31=m33=0. A terceira linha é l[0;1;0r]. Portanto
M = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, vemos que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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