(FGV-SP) Sendo n um número real, então o sistema de equações ln x+y=1 n y+z=1 x+n z=1 não possui solução se, e somente se, n é igual a:
a) -1
b) 0
c) 14
d) 12

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações lineares em x,y,z com parâmetro real n:
n x + y = 1, n y + z = 1, x + n z = 1
O conteúdo é Álgebra Linear (sistemas lineares). Para resolver, vamos montar a matriz de coeficientes, calcular seu determinante para achar quando o sistema fica singular e, nesses casos, checar se há ou não solução.

Passo 2

Escrevemos o sistema como , onde
A existência de solução única ocorre se e somente se . Se , o sistema pode ser inconsistente (sem solução) ou ter infinitas soluções.

Passo 3

Calculando det(A) pela primeira linha:
det(A) = n detn & 10 & n - 1 det0 & 11 & n + 0cdot(dots)
O primeiro menor é n^2 e o segundo é -1. Então
det(A) = n,(n^2) - 1,(-1) = n^3 + 1

Passo 4

O sistema fica singular quando
n^3 + 1 = 0 Longrightarrow n^3 = -1 Longrightarrow n = -1
(sendo essa a única raiz real).

Passo 5

Para
Da primeira equação . Substituindo na terceira:
que é impossível. Logo, o sistema não possui solução exatamente para .

Resposta

a) -1

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