(Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma P.A. genérica finita (a1, a2, a3, ldots, an) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa P.A., em função de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da P.A. (-224, -220,-216, ldots) seja positiva?

Passo 1

O enunciado trata de somar os termos de índice par de uma P.A. finita l(a1,a2,dots,anr) de razão r, com n par (parte a), e de determinar o menor n para que a soma dos n primeiros termos da P.A. -224,-220,-216,dots seja positiva (parte b). Vamos usar o termo geral de uma P.A. e as fórmulas de soma de P.A.

Passo 2

Na parte a), o termo geral da P.A. é
ak = a1 + (k-1),r
Os termos de índice par são a2,a4,dots,an. Sejam esses termos bm = a2m, com m=1,dots,N e N = n/2. Então
b1 = a2 = a1+r, razão de (bm) é 2r, ãé
e há N termos nessa subsequência.
A soma dos N termos b1,dots,bN de uma P.A. de primeiro termo b1 e razão 2r é
Spares = N2l(2b1 + (N-1),2rr)
Substituindo b1=a1+r e N=n/2 temos
2b1 + (N-1),2r =2(a1+r) + 2rl(tfracn2-1r) =2a1 + 2r + rn -2r =2a1 + rn,
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Spares = n/22,(2a1+rn) = n4,(2a1+n,r)

Passo 3

Na parte b), a P.A. dada tem a1=-224 e r=4. A soma dos n primeiros termos é
Sn = n2l(2a1 + (n-1),rr)
Exigimos Sn>0. Substituindo a1=-224 e r=4:
Sn = n2l(2cdot(-224) + (n-1)cdot4r) = n2l(-448 + 4n -4r) = n2(4n -452)
Como n>0, a condição Sn>0 equivale a
4n - 452 > 0 Longrightarrow n > 113

Passo 4

Como n deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz n>113 é n=114.

Resposta

a) Spares=n4l(2a1+n,rr)
b) 114.

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