(Unifor-99) Sabe-se que nas divisões de um número inteiro x por 16 e por 18 obtêm-se o mesmo resto 12 . Se a soma dos quocientes dessas divisões é 68, determine x.

Passo 1

O enunciado diz que ao dividir um inteiro x por 16 e por 18 obtemos o mesmo resto 12, e que a soma dos quocientes dessas divisões é 68. O conteúdo que vamos usar é o Algoritmo da Divisão e o cálculo do mínimo múltiplo comum (MMC).

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, existem inteiros q1 e q2 tais que
x = 16q1 + 12
x = 18q2 + 12
Isso implica que x-12 é múltiplo de 16 e de 18, ou seja, múltiplo do MMC (16,18). Como
MMC(16,18)=2^4cdot3^2=144,
podemos escrever
x-12 = 144k
para algum inteiro k.

Passo 3

A partir de x-12=144k obtemos os quocientes:
q1 = x-1216 = 144k16 = 9k,
q2 = x-1218 = 144k18 = 8k
Como q1+q2=68, segue
9k + 8k = 17k = 68 Rightarrow k = 4

Passo 4

Substituindo k=4 em x-12=144k, temos
x-12 = 144cdot4 = 576 Rightarrow x = 576 + 12 = 588

Resposta

588

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