Uma urna contém m bolas numeradas de 1 até m ; r(r <= m) bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for:
sem reposição de cada bola após a extração?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com m bolas numeradas de 1 a m e vamos extrair sucessivamente r bolas, com r<= m, sem reposição. O conteúdo aqui é o Princípio Fundamental da Contagem e a noção de permutação de m elementos tomados r a r.

Passo 2

Como não há reposição, a cada extração o número de bolas disponíveis diminui em 1. Assim:
– Na 1^a extração há m opções;
– Na 2^a extração há m-1 opções;
···
– Na r-ésima extração há m-(r-1)=m-r+1 opções.
Pelo Princípio Multiplicativo, o total de sequências possíveis é
m times (m-1) times (m-2) times cdots times (m-r+1)

Passo 3

Reconhecemos que esse produto é justamente a definição de permutação de m elementos tomados r a r. Em termos de fatoriais,
mtimes (m-1)times cdots times (m-r+1) =m!(m-r)!

Resposta

m!(m-r)!

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