Quando e por que usamos coordenadas polares? E coordenadas esféricas?

Passo 1

O enunciado pergunta “quando e por que usamos coordenadas polares e coordenadas esféricas”. Isso está dentro do conteúdo de mudança de variáveis em integrais múltiplas e da descrição de pontos em diferentes referenciais. Para resolver, precisamos saber a fórmula da transformação (mapa entre coordenadas cartesianas e as novas) e o fator de escala (jacobiano) para ajustar integrais.

Passo 2

Para coordenadas polares, representamos um ponto no plano (x,y) por (r,\theta), onde r é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. A transformação é
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
O jacobiano dessa mudança de variável é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Usamos coordenadas polares sempre que o domínio ou a função em questão tenha simetria circular (discos, anéis, setores) ou dependa de x^2+y^2. Nesse caso, a integral em cartesianas
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy
fica
\iint_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta,
e muitas vezes o fator r “cancela” termos em f ou simplifica limites radiais contantes.

Passo 3

Para coordenadas esféricas, descrevemos um ponto no espaço (x,y,z) por (\rho,\varphi,\theta), em que
\rho é a distância à origem,
\varphi é o ângulo polar (entre o raio e o eixo z),
\theta é o mesmo ângulo azimutal das polares no plano xy.
A transformação é
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi.
O jacobiano é
dx\,dy\,dz = \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Usamos coordenadas esféricas sempre que o problema tem simetria esférica (esferas, cascas esféricas, distribuições radiais) ou quando a função depende de x^2+y^2+z^2. A integral tripla
\iiint_V g(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
passa a ser
\iiint_{V'} g(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\,d\varphi\,d\theta,
e aí o \rho^{2}\sin\varphi se ajusta ao volume esférico, simplificando muito os cálculos.

Resposta

Coordenadas polares servem para integrar ou descrever regiões planas com simetria circular, convertendo (x,y) em (r,\theta) e gerando o fator r no jacobiano. Coordenadas esféricas servem para regiões espaciais com simetria esférica, convertendo (x,y,z) em (\rho,\varphi,\theta) e gerando o fator \rho^{2}\sin\varphi no jacobiano.

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