Quando e por que usamos coordenadas polares? E coordenadas esféricas?
Passo 1
O enunciado pergunta “quando e por que usamos coordenadas polares e coordenadas esféricas”. Isso está dentro do conteúdo de mudança de variáveis em integrais múltiplas e da descrição de pontos em diferentes referenciais. Para resolver, precisamos saber a fórmula da transformação (mapa entre coordenadas cartesianas e as novas) e o fator de escala (jacobiano) para ajustar integrais.
Passo 2
Para coordenadas polares, representamos um ponto no plano
por
, onde
é a distância à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. A transformação é
O jacobiano dessa mudança de variável é
Usamos coordenadas polares sempre que o domínio ou a função em questão tenha simetria circular (discos, anéis, setores) ou dependa de
. Nesse caso, a integral em cartesianas
fica
e muitas vezes o fator
“cancela” termos em
ou simplifica limites radiais contantes.
Passo 3
Para coordenadas esféricas, descrevemos um ponto no espaço
por
, em que
– é a distância à origem,
– é o ângulo polar (entre o raio e o eixo
),
– é o mesmo ângulo azimutal das polares no plano
.
A transformação é
–
–
–
A transformação é
O jacobiano é
Usamos coordenadas esféricas sempre que o problema tem simetria esférica (esferas, cascas esféricas, distribuições radiais) ou quando a função depende de
. A integral tripla
passa a ser
e aí o
se ajusta ao volume esférico, simplificando muito os cálculos.
Resposta
Coordenadas polares servem para integrar ou descrever regiões planas com simetria circular, convertendo
em
e gerando o fator
no jacobiano. Coordenadas esféricas servem para regiões espaciais com simetria esférica, convertendo
em
e gerando o fator
no jacobiano.