6.1.5 Mostre que números complexos têm raízes quadradas e que as raízes quadradas estão contidas no plano complexo. Quais são as raízes quadradas de
?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo número complexo não-nulo
tem exatamente duas raízes quadradas em
, usando representação polar, e em seguida determinar as raízes quadradas de
. Vamos usar o fato de que, se escrevemos
em forma polar, podemos dividir o módulo e o argumento pela metade para obter as raízes.
Passo 2
Seja
com
. Escrevemos
onde
e
é um argumento de
(isto é,
satisfaz
).
Passo 3
Procuramos
tal que
. Suponha
Da igualdade
obtemos dois sistemas:
-
, logo (escolha do sinal positivo para módulo). -
, com , ou seja
Assim, para
e
obtemos duas raízes distintas
Passo 4
Concluímos que todo
tem exatamente duas raízes quadradas em
, dadas por
O caso
tem raiz dupla
.
Passo 5
Agora
. Temos
e um argumento de
é
. Logo
As duas raízes são
Resposta
As raízes quadradas de
são