6.1.5 Mostre que números complexos têm raízes quadradas e que as raízes quadradas estão contidas no plano complexo. Quais são as raízes quadradas de i ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo número complexo não-nulo z tem exatamente duas raízes quadradas em \mathbb{C}, usando representação polar, e em seguida determinar as raízes quadradas de i. Vamos usar o fato de que, se escrevemos z em forma polar, podemos dividir o módulo e o argumento pela metade para obter as raízes.

Passo 2

Seja z\in\mathbb{C} com z\neq0. Escrevemos
z = r\,e^{i\theta},
onde r = |z|>0 e \theta é um argumento de z (isto é, \theta satisfaz z/|z| = e^{i\theta}).

Passo 3

Procuramos w\in\mathbb{C} tal que w^2 = z. Suponha
w = \rho\,e^{i\varphi}.
Da igualdade w^2 = \rho^2e^{2i\varphi}=r\,e^{i\theta} obtemos dois sistemas:
  1. \rho^2 = r, logo \rho = \sqrt{r} (escolha do sinal positivo para módulo).
  2. 2\varphi = \theta + 2k\pi, com k\in\mathbb{Z}, ou seja
\varphi = \frac{\theta}{2} + k\pi.
Assim, para k=0 e k=1 obtemos duas raízes distintas
w_0 = \sqrt{r}\,e^{i\frac{\theta}{2}}, \qquad w_1 = \sqrt{r}\,e^{i\bigl(\frac{\theta}{2}+\pi\bigr)} = -\,w_0.

Passo 4

Concluímos que todo z\neq0 tem exatamente duas raízes quadradas em \mathbb{C}, dadas por
\pm\sqrt{r}\,e^{i\frac{\theta}{2}}.
O caso z=0 tem raiz dupla 0.

Passo 5

Agora z=i. Temos |i|=1 e um argumento de i é \theta=\frac{\pi}{2}. Logo
\sqrt{r} = 1, \qquad \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}.
As duas raízes são
w_0 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}, \qquad w_1 = -\,e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{-1 - i}{\sqrt{2}}.

Resposta

As raízes quadradas de i são
\frac{1+i}{\sqrt{2}} \quad\text{e}\quad \frac{-1 - i}{\sqrt{2}}.

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