Usando a relação de Euler, prove que:

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
binom2nn = binomn0^2 + binomn1^2 + binomn2^2 +cdots+ binomnn^2
usando a chamada relação de Euler (que aqui corresponde à identidade de Vandermonde para coeficientes binomiais). Vamos usar essa fórmula e depois especializá-la ao caso adequado.

Passo 2

A relação de Euler (Vandermonde) afirma que, para quaisquer inteiros não negativos alpha,beta e um inteiro r, vale
sumk=0^r binomalphak, binombetar-k = binomalpha+betar
Isto é, ao multiplicar as séries (1+x)^alpha e (1+x)^beta e comparar o coeficiente de x^r, obtemos essa soma convolutiva.

Passo 3

Agora specialize alpha=beta=n e r=n. A identidade fica
sumk=0^n binomnk, binomnn-k = binom2nn
Mas sabemos que binomnn-k=binomnk. Logo
sumk=0^n binomnk, binomnn-k = sumk=0^n binomnk^2

Resposta

boxed binom2nn = sumk=0^n binomnk^2

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