Qual é o número de termos racionais no desenvolvimento de (2 raiz3+raiz5)^10 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de termos racionais no desenvolvimento de (2raiz3+raiz5)^10. O conteúdo aqui é o Teorema do Binômio de Newton e a análise de quando um termo que envolve raízes é na verdade racional. Vamos usar a expansão binomial e depois ver para quais expoentes a parte raiz3 e raiz5 desaparece.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, o termo geral da expansão é
Tk ;=;binom10k,(2raiz3)^k,(raiz5)^10-k,
onde k varia de 0 até 10.

Passo 3

Reescrevendo (2raiz3)^k e (raiz5)^10-k em potências racionais, temos
Tk = binom10k,2^k,( raiz3,)^k,(raiz5,)^10-k = binom10k,2^k,3^tfrack2,5^tfrac10-k2

Passo 4

Para que Tk seja racional, precisamos que os expoentes de 3 e de 5 sejam inteiros:
tfrack2inZ e tfrac10-k2inZ
Isso ocorre exatamente quando k é um número par.

Passo 5

Os valores de k entre 0 e 10 que são pares são
0,2,4,6,8,10,
totalizando 6 casos.

Resposta

6

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