Qual é o número de termos racionais no desenvolvimento de
?
Passo 1
O enunciado pede o número de termos racionais no desenvolvimento de
. O conteúdo aqui é o Teorema do Binômio de Newton e a análise de quando um termo que envolve raízes é na verdade racional. Vamos usar a expansão binomial e depois ver para quais expoentes a parte
e
desaparece.
Passo 2
Pelo Teorema do Binômio, o termo geral da expansão é
onde
varia de
até
.
Passo 3
Reescrevendo
e
em potências racionais, temos
Passo 4
Para que
seja racional, precisamos que os expoentes de
e de
sejam inteiros:
Isso ocorre exatamente quando
é um número par.
Passo 5
Os valores de
entre
e
que são pares são
totalizando
casos.