Sem usar calculadora (ou seja, esboçando triângulos), determine os valores exatos das expressões a seguir.
cos (arcsen(14))

Passo 1

O enunciado pede para determinar exatamente \r
cosl(arcsenl(tfrac14r)r) \r
Isso envolve trigonometria inversa e a interpretação geométrica de um triângulo retângulo, pois arcsen retorna um ângulo cujo seno conhecemos.

Passo 2

Definimos \r
theta = arcsenl(tfrac14r). \r
Por definição de arco-seno, temos \r
sentheta = tfrac14 \r
e sabemos que theta está em l[-tfracpi2,tfracpi2r], então o cosseno de theta é não negativo.

Passo 3

Para visualizar, imagine um triângulo retângulo em que o cateto oposto a theta vale 1 e a hipotenusa vale 4. \r
O comprimento do cateto adjacente é dado por\r
raiz4^2 - 1^2 = raiz16 - 1 = raiz15

Passo 4

No mesmo triângulo, \r
costheta = cateto adjacentehipotenusa = raiz154 \r
Como theta=arcsen(tfrac14), concluímos\r
cosl(arcsen(tfrac14)r) = raiz154

Resposta

raiz154

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