Sem usar calculadora (ou seja, esboçando triângulos), determine os valores exatos das expressões a seguir.
tan (arcsen(513))

Passo 1

O enunciado pede para calcular
tanl(arcsin(tfrac513)r).
Isso envolve transformação de uma função trigonométrica inversa numa razão trigonométrica usando um triângulo retângulo. Vamos usar a identidade
sin^2theta + cos^2theta = 1
e a definição de tangente em triângulo: tantheta = tfraccateto opostocateto adjacente.

Passo 2

Defina theta = arcsinl(tfrac513r).
Por definição de arco-seno, temos
sintheta = 513,
e como theta está no intervalo principal de arcsin, isto é em l[-tfracpi2,tfracpi2r], o cosseno de theta será não negativo.

Passo 3

Considere um triângulo retângulo em que o cateto oposto a theta mede 5 e a hipotenusa mede 13.
O cateto adjacente sai de
costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - l(tfrac513r)^2 = raiz1 - tfrac25169 = raiztfrac144169 = 1213
Na escala do triângulo, o cateto adjacente vale 12 quando a hipotenusa vale 13.

Passo 4

Agora, a tangente de theta é
tantheta = cateto opostocateto adjacente = 512

Resposta

512

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