Sem usar calculadora (ou seja, esboçando triângulos), determine os valores exatos das expressões a seguir.
sen(arctan (3))

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem usar calculadora, o valor de
sin(arctan(3)).
Vamos usar a relação entre funções trigonométricas inversas e as razões em um triângulo retângulo.

Passo 2

Defina theta = arctan(3).
Por definição de arco-tangente,
tan(theta) = 3 = cateto opostocateto adjacente
Podemos escolher cateto oposto = 3 e cateto adjacente = 1.

Passo 3

Calcule a hipotenusa do triângulo de lados 1 e 3:
hipotenusa = raiz1^2 + 3^2 = raiz10
Então
sin(theta) = cateto opostohipotenusa = 3raiz10

Passo 4

Racionalizando o denominador, multiplicamos numerador e denominador por raiz10:
3raiz10 = 3raiz1010

Resposta

sin(arctan(3)) = 3raiz1010

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