Sem usar calculadora (ou seja, esboçando triângulos), determine os valores exatos das expressões a seguir.
tan (arcsen(57))

Passo 1

O enunciado pede tan(arcsen(5/7)), ou seja, o valor exato da tangente do ângulo cujo seno é 5/7. Vamos usar um triângulo retângulo para traduzir o seno em catetos e depois calcular a tangente.

Passo 2

Seja theta = arcsen(5/7). Pela definição de arco-seno, temos
sintheta = 57
Em um triângulo retângulo, isso significa que o cateto oposto a theta mede 5 e a hipotenusa mede 7.

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras, o cateto adjacente a theta vale
raiz7^2 - 5^2 = raiz49 - 25 = raiz24 = 2raiz6

Passo 4

A tangente de theta é a razão entre cateto oposto e cateto adjacente, logo
tantheta = 52raiz6

Passo 5

Para deixar o resultado com denominador racional, multiplicamos numerador e denominador por raiz6:
tantheta = 52raiz6cdotraiz6raiz6 = 5raiz62cdot6 = 5raiz612

Resposta

tanl(arcsentfrac57r) = 52raiz6 = 5raiz612

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