USC - Para certo natural n, os números 5 n+16 e 8 n+29 possuem um fator comum maior que um. Este fator comum é igual a:
a) 11
b) 13
c) 17
d) 19
e) 23

Passo 1

O enunciado pede o maior divisor comum de 5n+16 e 8n+29 que seja maior que 1, para algum n natural. O conteúdo aqui é o algoritmo de Euclides para encontrar gcd de expressões lineares em n.

Passo 2

Aplicando o algoritmo de Euclides, subtraímos combinações adequadas para reduzir o grau em n. Temos:
gcd(5n+16,,8n+29) =gcd(5n+16,,8n+29-(5n+16)) =gcd(5n+16,,3n+13)
=gcd(3n+13,,5n+16-(3n+13)) =gcd(3n+13,,2n+3)
=gcd(2n+3,,3n+13-(2n+3)) =gcd(2n+3,,n+10)
=gcd(n+10,,2n+3-(n+10)) =gcd(n+10,,n-7) =gcd(n-7,,17)

Passo 3

Chegamos a
gcd(5n+16,,8n+29)=gcd(n-7,,17)
Isso significa que o máximo divisor comum só pode ser um divisor de 17, ou seja, 1 ou 17.

Passo 4

Como o problema afirma que esse fator comum é maior que 1, a única possibilidade é
gcd(5n+16,,8n+29)=17

Resposta

17

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