OBM - Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1 ?
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000
e) 500.000

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros positivos n<1,000,000 tais que o último dígito de n^3 seja 1. O conteúdo usado será aritmética modular, em particular cálculo de resíduos módulo 10.

Passo 2

Para saber quando o cubo de um número termina em 1, basta analisar n^3 bmod 10. Como só importa o último dígito de n, calculemos para nequiv0,1,2,dots,9pmod10:
0^3 &equiv 0pmod10, 1^3 &equiv 1pmod10, 2^3 &equiv 8pmod10, 3^3 &equiv 7pmod10, 4^3 &equiv 4pmod10, 5^3 &equiv 5pmod10, 6^3 &equiv 6pmod10, 7^3 &equiv 3pmod10, 8^3 &equiv 2pmod10, 9^3 &equiv 9pmod10
Desses, apenas 1^3equiv1pmod10.

Passo 3

Logo, n^3 termina em 1 se, e somente se, nequiv1pmod10. Ou seja, n tem o último dígito igual a 1.

Passo 4

Agora contamos quantos n<1,000,000 satisfazem nequiv1pmod10. Esses números são da forma n=10k+1, com k>=0 inteiro e
10k+1<1,000,000 ;Longrightarrow; k<=999,999-110=99,999,8
Portanto k=0,1,2,dots,99,999, totalizando 100,000 valores.

Resposta

100 000 (alternativa d)

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