OBM - Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1 ?
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000
e) 500.000
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000
e) 500.000
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de inteiros positivos
tais que o último dígito de
seja 1. O conteúdo usado será aritmética modular, em particular cálculo de resíduos módulo 10.
Passo 2
Para saber quando o cubo de um número termina em 1, basta analisar
. Como só importa o último dígito de
, calculemos para
:
Desses, apenas
.
Passo 3
Logo,
termina em 1 se, e somente se,
. Ou seja,
tem o último dígito igual a 1.
Passo 4
Agora contamos quantos
satisfazem
. Esses números são da forma
, com
inteiro e
Portanto
, totalizando
valores.
Resposta
100 000 (alternativa d)