USC - Qual dos seguintes números é o maior?
a) 6^100
b) 5^200
c) 4^300
d) 3^400
e) 2^500

Passo 1

O enunciado pede para comparar as cinco quantidades
a) 6^100, b) 5^200, c) 4^300, d) 3^400 e e) 2^500
e escolher a maior. O conteúdo que vamos usar é o logaritmo natural e sua propriedade de transformar potências em produtos, além da monotonicidade de ln , ou seja, se A>B>0 então ln(A)>ln(B).

Passo 2

Para cada número N vamos calcular ln(N). Como ln é crescente, o maior ln(N) corresponde ao maior N. Escrevemos:
lnl(6^100r)=100,ln(6), lnl(5^200r)=200,ln(5), lnl(4^300r)=300,ln(4),
lnl(3^400r)=400,ln(3), lnl(2^500r)=500,ln(2)

Passo 3

Calculamos aproximadamente os logaritmos das bases:
ln(2)approx0,6931, ln(3)approx1,0986, ln(5)approx1,6094, ln(6)=ln(2)+ln(3)approx1,7917
Então
ln(6^100)approx100cdot1,7917=179,17, ln(5^200)approx200cdot1,6094=321,88,
ln(4^300)=300cdotln(2^2)=600cdot0,6931=415,86, ln(3^400)approx400cdot1,0986=439,44,
ln(2^500)approx500cdot0,6931=346,55

Passo 4

Comparando os valores de ln, vemos que o maior é
400,ln(3)approx439,44,
ou seja, o maior número original é 3^400.

Resposta

d) 3^400

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