Use a definição de multiplicação de matrizes para encontrar (a) A B, (b) B A.
A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 2 \\\\ 4 & 1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 4 & 1 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2\\\\ 4 & -3 & -1 \end{pmatrix}
e pede para calcular \,A B e \,B A. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes, cuja definição diz que o elemento (i,j) do produto XY é dado por
(XY)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} X_{ik}\,Y_{kj}.

Passo 2

Para calcular A B, vamos obter cada linha de A vezes cada coluna de B.
A primeira linha de A é (-1,0,2). As colunas de B são
\,(2,-1,4), \,(1,0,-3) e \,(0,2,-1).
Fazendo os produtos escalares:
(-1,0,2)\cdot(2,-1,4)=-1\cdot2+0\cdot(-1)+2\cdot4=6,
(-1,0,2)\cdot(1,0,-3)=-1\cdot1+0\cdot0+2\cdot(-3)=-7,
(-1,0,2)\cdot(0,2,-1)=-1\cdot0+0\cdot2+2\cdot(-1)=-2.
Logo, a primeira linha de AB é (6,-7,-2).

Passo 3

A segunda linha de A é (4,1,-1). Repetindo com as mesmas colunas de B:
(4,1,-1)\cdot(2,-1,4)=4\cdot2+1\cdot(-1)+(-1)\cdot4=3,
(4,1,-1)\cdot(1,0,-3)=4\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot(-3)=7,
(4,1,-1)\cdot(0,2,-1)=4\cdot0+1\cdot2+(-1)\cdot(-1)=3.
Então a segunda linha de AB é (3,7,3).

Passo 4

A terceira linha de A é (2,0,1). Calculando:
(2,0,1)\cdot(2,-1,4)=2\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot4=8,
(2,0,1)\cdot(1,0,-3)=2\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-3)=-1,
(2,0,1)\cdot(0,2,-1)=2\cdot0+0\cdot2+1\cdot(-1)=-1.
Assim, a terceira linha de AB é (8,-1,-1).

Passo 5

Juntando as três linhas, obtemos
AB = \begin{pmatrix} 6 & -7 & -2\\\\ 3 & 7 & 3\\\\ 8 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora vamos calcular B A. A primeira linha de B é (2,1,0). As colunas de A são
(-1,4,2), (0,1,0) e (2,-1,1).
Fazendo os produtos escalares:
(2,1,0)\cdot(-1,4,2)=2\cdot(-1)+1\cdot4+0\cdot2=2,
(2,1,0)\cdot(0,1,0)=2\cdot0+1\cdot1+0\cdot0=1,
(2,1,0)\cdot(2,-1,1)=2\cdot2+1\cdot(-1)+0\cdot1=3.
Logo, a primeira linha de BA é (2,1,3).

Passo 7

A segunda linha de B é (-1,0,2). Calculando com as colunas de A:
(-1,0,2)\cdot(-1,4,2)=(-1)\cdot(-1)+0\cdot4+2\cdot2=5,
(-1,0,2)\cdot(0,1,0)=(-1)\cdot0+0\cdot1+2\cdot0=0,
(-1,0,2)\cdot(2,-1,1)=(-1)\cdot2+0\cdot(-1)+2\cdot1=0.
Assim, a segunda linha de BA é (5,0,0).

Passo 8

A terceira linha de B é (4,-3,-1). Calculando:
(4,-3,-1)\cdot(-1,4,2)=4\cdot(-1)+(-3)\cdot4+(-1)\cdot2=-18,
(4,-3,-1)\cdot(0,1,0)=4\cdot0+(-3)\cdot1+(-1)\cdot0=-3,
(4,-3,-1)\cdot(2,-1,1)=4\cdot2+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot1=10.
Portanto, a terceira linha de BA é (-18,-3,10).

Passo 9

Juntando as três linhas, obtemos
BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 5 & 0 & 0\\\\ -18 & -3 & 10 \end{pmatrix}.

Resposta

AB = \displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -7 & -2\\\\ 3 & 7 & 3\\\\ 8 & -1 & -1 \end{pmatrix},\quad BA = \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 5 & 0 & 0\\\\ -18 & -3 & 10 \end{pmatrix}.

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