Use a eliminação de Gauss para determinar todas as soluções para o sistema de equações dado.
-4 x+5 y=7
7 x-8 y=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} -4x + 5y = 7,\\\\ 7x - 8y = 9 \end{cases}
usando eliminação de Gauss. O método consiste em transformar o sistema numa forma triangular superior (ou escalonada) e depois usar substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cc|c} -4 & 5 & 7\\\\ 7 & -8 & 9 \end{array}\right].
O pivô inicial é o elemento -4 na primeira linha, primeira coluna.

Passo 3

Queremos zerar o elemento abaixo do pivô ( 7 na segunda linha). Para isso, somamos à segunda linha \tfrac{7}{4} vezes a primeira linha:
R_2 \leftarrow R_2 + \frac{7}{4}R_1.
Calculando cada entrada:
  • Coluna 1: 7 + \tfrac{7}{4}\cdot(-4)=7-7=0.
  • Coluna 2: -8 + \tfrac{7}{4}\cdot5 = -8 + \tfrac{35}{4} = -\tfrac{32}{4} + \tfrac{35}{4} = \tfrac{3}{4}.
  • Termo independente: 9 + \tfrac{7}{4}\cdot7 = 9 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{36}{4} + \tfrac{49}{4} = \tfrac{85}{4}.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} -4 & 5 & 7\\\\ 0 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{85}{4} \end{array}\right].

Passo 4

Agora lemos a segunda equação escalonada:
\frac{3}{4}\,y = \frac{85}{4}.
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{4}{3}, obtemos
y = \frac{85}{4}\cdot\frac{4}{3} = \frac{85}{3}.

Passo 5

Voltamos à primeira equação original para encontrar x:
-4x + 5y = 7.
Substituindo y = \tfrac{85}{3}:
-4x + 5\cdot\frac{85}{3} = 7 \quad\Longrightarrow\quad -4x + \frac{425}{3} = 7 \quad\Longrightarrow\quad -4x = 7 - \frac{425}{3} = \frac{21-425}{3} = -\frac{404}{3}.
Dividindo por -4:
x = \frac{-\frac{404}{3}}{-4} = \frac{404}{12} = \frac{101}{3}.

Resposta

\boxed{x = \frac{101}{3}, \quad y = \frac{85}{3}.}

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