24.10 Use uma fórmula da identidade de meio-ângulo para obter uma expressão para cos ^4 t em termos de cossenos com expoente 1.
Aplicando uma vez uma identidade de meio-ângulo, tem-se:
cos ^4 t=(cos ^2 t)^2=(1+cos 2 t2)^2=1+2 cos 2 t+cos ^2 2 t4
Aplicando novamente a identidade, dessa vez para cos ^2 2 t, tem-se:
cos ^4 t=1+2 cos 2 t+cos ^2 2 t4 & =1+2 cos 2 t+1+cos 2(2 t)24 & =2+4 cos 2 t+1+cos 4 t8 & =3+4 cos 2 t+cos 4 t8

Passo 1

O enunciado pede para escrever cos^4t como combinação de cossenos de argumentos múltiplos de t, todos elevados a 1. O conteúdo envolvido é a identidade de meio-ângulo, que diz
cos^2x = 1+cos 2x2
Vamos aplicar essa fórmula duas vezes: primeiro em cos^2t e depois em cos^2(2t).

Passo 2

Usamos a identidade de meio-ângulo em cos^2t e elevamos ao quadrado para obter cos^4t:
cos^4t = l(cos^2tr)^2 = l(1+cos 2t2r)^2 = 1 + 2cos 2t + cos^22t4

Passo 3

Agora aplicamos a mesma identidade em cos^22t:
cos^22t = 1+cos 4t2
Substituindo na expressão do passo anterior dá
cos^4t = 1 + 2cos 2t + 1+cos 4t24 = 2 + 4cos 2t + 1 + cos 4t8 = 3 + 4cos 2t + cos 4t8

Resposta

boxedcos^4t = 3 + 4cos 2t + cos 4t8

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